Que faut-il pour le calcul analogique universel?

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Question

Quelles opérations doivent être effectuées afin de faire tout calcul analogique arbitraire ? Would addition, la soustraction, la multiplication et la division soit suffisante?

En outre, personne ne sait exactement quels problèmes sont traitables en utilisant le calcul analogique, mais pas avec le numérique?

Était-ce utile?

La solution

Malheureusement, il n'y a pas de concept « universel » de l'universalité en analogique informatique. Cependant, cet article par Delvenne propose un formalisme unificateur pour l'universalité discrète (par exemple machines de Turing) et continue ( par exemple des équations différentielles) systèmes dynamiques et critiques des systèmes universels étudiés dans la littérature. Voici un extrait du document qui décrit de façon informelle la procédure de prouver l'universalité d'un système dynamique:

  

Mais la plupart des systèmes dynamiques étudiés en mathématiques et en physique ont un espace d'état non dénombrable, par exemple, les automates cellulaires, équations différentielles, par morceaux   cartes linéaires, etc. Des exemples de ces systèmes ont été prouvés universelle. Leur   problème de l'arrêt est imitée de la machine de Turing de la manière suivante. nous   choisissez une famille dénombrable particulière des états initiaux, et de la famille dénombrable de   états finaux ou des ensembles d'états finaux. Ensuite, le problème de l'arrêt est donné une première   à partir d'un état et un état final / ensemble d'états, si la trajectoire du   état initial atteindra l'état final / ensemble d'états. Des exemples plus spécifiques sont   donnée à l'article 7.

Jean-Charles Delvenne, Qu'est-ce qu'une machine informatique universelle ?, Mathématiques appliquées et calcul, volume 215, numéro 4, 15 Octobre 2009, Pages 1368-1374

Autres conseils

Je ne pense pas que la question peut être répondue à moins que nous avons une définition de ce genre de calculs dont nous parlons.

universalité d'un modèle de machine w.r.t. une classe de moyens computationw que tout calcul de cette classe peut être calculée par une machine. À moins que vous définissez la classe des « calculs analogiques arbitraires », nous ne pouvons pas répondre à ce qui est l'universalité w.r.t. pour eux.

Maintenant, les fonctions que vous avez énumérées ne vous donnera polynômes et leur quotient qui est une assez petite classe de fonctions réelles, vous ne pouvez pas calculer même des fonctions simples comme 2 $ ^ x $, $ \ lfloor x \ rfloor $, $ \ sqrt x $, ... les utiliser.

Si votre question est de savoir s'il existe des systèmes physiques à partir d'un état initial atteindra un autre Etat dans un certain temps et si cela est toujours calculable, alors la réponse dépend du type de la physique que nous parlons, et ce qu'elle signifie à mettre en place une configuration initiale et en observant le résultat, etc.

Si nous parlons simplement mathématiquement sur la physique classique (on peut lui attribuer la configuration initiale à une précision infinie et sans aucune considération sur des choses telles que l'énergie nécessaire pour mettre en place la configuration et en observant le résultat est tout aussi du point de vue mathématique) puis a été connu pour longtemps qu'il existe des équations différentielles sur les fonctions calculables st leur solution n'est pas calculable, voir Marian B. Pour-El, et J. Ian Richards, « calculabilité en analyse et en physique », 1989.

Un cas intéressant est si le problème n-corps est calculable (et si je me souviens bien, la réponse est non, au moins pour n $> 4 $).

En général, si nous pouvons vérifier l'égalité de deux nombres réels qui donne une fonction qui n'est pas w.r.t. continue typologies typiques d'informations sur les chiffres réels et ne peuvent donc être calculées par une machine de Turing puisque toute fonction (y compris les fonctions de type supérieur) qu'une machine de Turing peut calculer est continue (w.r.t. la topologie de l'information).

TL; DR: Si par « calculateurs analogiques », vous voulez dire analyseurs différentiel , la réponse est sommateurs, des unités constantes et intégrateur. Bournez, Campagnolo, Graça et Hainry ont montré en 2006 ( paywalled / réimpression libre ) qu'un analyse calculable , et ce modèle a besoin que ces 3 types d'unités.

transcendantale fonctions

L'ensemble de l'opération que vous proposez (addition, multiplication, soustraction et division), même complétée par l'équation de la racine est, par définition, ne suffit pas pour calculer une fonction transcendante . fonctions transcendantes inclut des fonctions très courantes, comme $ \ sin $, $ \ exp $, $ \ log $. Cependant, comme nous le verrons ci-dessous, certains modèles d'ordinateur analogique permet de calculer des fonctions transcendantes et, essentiellement toutes les fonctions réelles calculable par une machine de Turing.

Analogique calcul de modèles

Comme souligné par d'autres, le concept de « calcul universel » est moins clair pour analogiques ordinateurs que pour les ordinateurs standard, si elle est différente notion naturelle de calculabilité dans différents modèles de calcul où trouve l'équivalent dans les années 1930 (voir Page Wikipédia Church Thèse pour plus de détails Turing ).

Afin de définir une telle universalité, il faut d'abord définir un bon modèle pour analogique calcul, et il est une tâche difficile, car le modèle doit être idéalisée et et assez naturel pour être utile, mais son idéalisation ne devrait pas donner irréaliste l'alimentation du modèle. Un exemple d'un tel bien idéalisation est la bande infinie des machines de Turing. Le problème avec les ordinateurs analogiques est livré avec des nombres réels qui pourraient permettre de construire des choses déraisonnables comme le Zeno la machine. Cependant, plusieurs de ces modèles ont été proposés et utilisés dans la littérature (Le GPAC est le sujet principal de cette réponse, mais j'essaie d'être complet dans la liste ci-dessous, sans hypercomputer ):

Alimentation du modèle GPAC

son papier 1941, Shanon a introduit le modèle GPAC à < a href = « https://en.wikipedia.org/wiki/Differential_analyser » rel = « nofollow »> analyseurs différentiels .Cet modèle doit seulement 3 types d'unités interconnectées (unités constantes, des additionneurs et des intégrateurs. multiplicateurs peuvent être construit à partir d'intégrateurs et sommateurs.) Il a montré que l'ensemble des fonctions qu'il génère est l'ensemble des fonctions différentielles algébriques, mais ne comprend pas les fonctions hypertranscendental . Cela signifie que le $ \ Gamma $ et $ \ zeta $ , qui sont calculables ne Turing peut être généré. En d'autres termes, aucun analyseur différentiel aura jamais un y $ de sortie (t) = \ Gamma (t) $, fourmi, il semblait depuis longtemps qu'un tel ordinateur analogique n'est pas « universel », car il ne peut pas générer une calculable raisonnable fonctions utilisées par les mathématiciens.

Cependant, en 2004, Daniel Silva Graça a montré que le modèle précédent, sur la base de calcul instantané est trop restrictive. Si l'on définit la calculabilité d'un $ fonction f différemment $, ce qui permet $ y (t) $ à converger vers $ f (x) $, pour un $ d'entrée x $, le $ \ gamma $ et $ \ zeta fonctions $ sont calculable par un GPAC. Bournez, Campagnolo, Graça et Hainry ont ensuite montré en 2006 ( paywalled / réimpression libre ) qu'un analyse calculable .

Bournez, Graça et Pouly ont ensuite montré en 2013 que ces calculateurs analogiques peuvent efficacement simuler une machine de Turing ( p.181 d'un grand pdf ) et, en 2014, que les classes de complexité p et NP sont équivalentes dans ce modèle.

Serait-il utile de proposer qu'un système analogique universel pourrait être modélisé par un réseau neuronal infini dire toutes autres valeurs d'entrée du système analogique / sortie peut être reproduit apparié réseau de neurones pour une opération donnée, et des opérations peut être enchaînée au besoin?

Alors que je l'ai fait formuler cette pensée moi-même, une recherche ultérieure a montré une proposition similaire:

  

Qu'est-ce qui émerge est une église Turing comme thèse, appliquée au champ de calcul analogique, qui présente le modèle de réseau de neurones en place de la machine de Turing numérique (voir ).

On peut dire tout ce que vous auriez besoin est les opérations primitives à la valeur de déplacement d'un nœud à l'autre. Le brassard qui Off pourrait être plus, moins et diviser pour obtenir le rapport entre les connexions.

Quant aux problèmes difficiles à résoudre, ne regarder où les réseaux de neurones ont été appliquées avec succès, ou sont en exécution en raison d'être mis en œuvre sur un ordinateur discret.

(et excuses si mon avis personne presque profane sur ce sujet est une évidence aveuglante)

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