Qu'est-ce que « les conditions aux limites » « look » peut faire un rectangle comme un cercle?

Question

Je résoudre un quatrième ordre équation différentielle partielle non linéaire dans le temps et l'espace (t, x) sur un domaine carré avec des conditions aux limites périodiques ou libres avec MATHEMATICA.

SANS utiliser la cartographie conformationnelle, quelles conditions limites au bord ou un coin que je pourrais utiliser pour rendre le domaine carré « semble » comme un domaine circulaire pour mon équation différentielle partielle non linéaire qui est cartésienne?

Les options je voudrais pas comme à utiliser sont:

• Conformal mapping
• changer mon équation en coordonnées polaires cylindriques /?

Ceci est quelque chose que je poursuis purement par intérêt juste au cas où quelqu'un crie assassiner de sang si mal interprété comme un problème de devoirs! :P

Answer 1

Ce question a été posée sur les gens de temps a découvert que le monde était sphérique. Ils voulaient faire des cartes rectangulaires de la surface du monde ...

Il est impossible.

La raison pour laquelle n'est pas possible est parce que la sphère a une courbure intrinsèque , tandis que le cube / parallélépipède n'a pas. On peut montrer que, pour deux éléments avec des courbures différentes intrinsèques, leurs surfaces ne peuvent pas être mis en correspondance pendant que soit tenue constante de distances infinitésimales, soit la distance entre deux points est donnée par la distance euclidienne.

La meilleure façon de comprendre ce problème est de choisir une pièce rectangulaire de papier et essayer de faire une sphère sans étirer localement ou compresser (vous pouvez plier). Vous ne pouvez pas. D'autre part, vous pouvez faire une surface de cylindre, parce que le cylindre a également pas de courbure intrinsèque.

Dans les cartes, les gens utilisent normalement l'une des deux options suivantes:

1. approximation de la surface locale de la sphère par un plan tangent et faire un rectangle hors de lui. (Une carte locale de certaines régions)

2. faire des cartes du monde, mais de mettre en œuvre des lignes courbes identifiant partout que les distances de mesure doivent être faites en fonction de ces lignes.

Ceci est aussi la principale raison pour laquelle lorsque vous voyagez de l'Europe vers l'Amérique du Nord, les avions semble faire une courbe en essayant toujours de passer près du Canada. Si nous avons mesuré la distance de la carte rectangulaire, on voit qu'ils devraient aller en ligne droite pour réduire au minimum la distance. Cependant, parce que nous cartographions deux différentes courbures intrinsèques, la distance réelle doit être mesurée d'une manière différente (et non pas par une ligne droite).

Pour 2D (en fait pour nD) le même raisonnement vaut.