Comment l'équation de la relation entre l'erreur de prédiction, le biais et la variance est-elle définie?

Question

Je lis cet article Comprendre le compromis de la biasvariance. Il a mentionné:

Si nous désignons la variable, nous essayons de prédire comme $ y $ et nos covariables comme $ x $, nous pouvons supposer qu'il existe une relation relative à l'autre, comme $ y = f (x) + epsilon $ où le Term d'erreur $ epsilon $ est normalement distribué avec une moyenne de zéro comme $ epsilon sim mathcal {n} (0, , sigma_ epsilon) $.

Nous pouvons estimer un modèle $ hat {f} (x) $ de $ f (x) $. L'erreur de prédiction au carré attendue à un point $ x $ est: $$ err (x) = e [(y- hat {f} (x)) ^ 2] $$ Cette erreur peut alors être décomposée en composants de biais et de variance : $$ err (x) = (e [ hat {f} (x)] - f (x)) ^ 2 + e big [( hat {f} (x) -e [ hat {f} (x)])) ^ 2 big] + Sigma ^ 2_e $$ $$ err (x) = biais ^ 2 + variance + irréductible error $$

Je me demande comment les deux dernières équations se déduisent-elles de la première équation?