Logique propositionnelle - Exhaustivité syntaxique

Question

Passons en compte la logique propositionnelle. Nous disons qu'un système de preuve pour la logique propositionnelle est syntaxiquement (négation) complet si pour chaque $ alpha $, soit $ alpha $ ou $ neg alpha $ est prouvable dans le système, c'est-à-dire $ sigma vdash alpha $ ou $ sigma vdash neg alpha $. (Je suppose que les définitions standard de $ sigma $ et $ vdash $).

Il semble que ce soit moi qu'aucun système d'épreuve sonore de logique propositionnelle ne pourrait prouver $ p $ ou $ neg p $ à partir de phrases vides, où $ p $ est un atom propositionnel. Ainsi, la logique propositionnelle n'est pas complète syntaxiquement.

Maintenant, c'est à ma compréhension que c'est une sorte d'exhaustivité, Godel envisageait dans son théorème d'incomplétude pour les habitants. Étant donné que FOL (avec abus de terminologie) subsume la logique propositionnelle, il soutient trivialement que Fol n'est pas non plus syntaxiquement terminé. Cela semble simple, alors je me demande ce que je fais de mal? Ou sa preuve axée sur l'arithmétique de Peano spécifiquement?

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