Décidabilité des langues unaires / cartographie un à un

Question

J'essaie de prouver qu'il existe un sous-ensemble indécidable de {1} * en montrant une correspondance un à un entre elle et {0, 1} * (qui impliquerait une correspondance individuelle entre leurs ensembles de puissance ), mais j'ai du mal à faire la cartographie un à un. N'est-ce pas seulement surjectif? Autrement dit, il y a une représentation unaire de potentiellement de nombreuses chaînes binaires (par exemple, 1 = 01 = 0000000000001).

Que suis-je un malentendu ici? Ou est-ce que je prends juste la mauvaise stratégie globale?

(Ce n'est pas des devoirs; je passe en revue pour un mi-mandat, et c'est un peu préoccupant que je suis trébuché ici)