Logique de prédicat - déduction naturelle; Hypothèses sur l'existence-élimination

Question

Je suis coincé sur la façon de progresser avec cette preuve; Je ne vois pas mon prochain déménagement.

La tâche consiste à afficher $ s to existe x q (x) vdash existe x (s to q (x)) $ en utilisant la déduction naturelle pour la logique de prédicat.

Ma première tentative a été la suivante;

1: $ s to exists x q (x) espace espace espace espace espace espace prémisse $
2: $ x_ {0} Space Space S to Q (x_ {0}) Space Space Hypothèse $ (Début de la boîte à lunette, je ne sais pas comment les écrire ici)
3: $ existe x (s to q (x)) espace espace existant x Space Introduction Space 2 $ (End of Scoped Box)
4: $ existe x (s to q (x)) espace espace existe x space élimination espace 1,2-3 $

Cependant, je ne suis pas sûr que ce soit correct. La règle pour $ existe $ l'élimination est
$ frac { existe x phi espace espace (et espace que nous espace gérer espace pour space inférer espace gamma espace de espace remplaçant espace x espace dans phi espace par espace une variable espace fraîche espace)} { gamma} $
Je ne sais pas comment rendre la règle ici (question bonus), mais voici un lien vers l'endroit où il est mieux décrit (page 16).

Afin d'éliminer $ existe x $, je dois donc avoir une formule $ existe x phi $ comme prémisse, et l'autre prémisse comme décrit dans le lien ci-dessus. Cependant, ma première prémisse dans ce cas est $ s to existe x q (x) $, ce qui me fait penser que mon deuxième coup est illégal.

Quelqu'un peut-il expliquer si ma réflexion est correcte et souligner mon prochain déménagement, ou si je me trompe, veuillez expliquer pourquoi je me trompe? (Soit dit en passant, le lien ci-dessus décrit exactement ces règles que ma litière de cours me permet d'utiliser, donc si je pouvais obtenir de l'aide en termes de règles, je serais doublement reconnaissant).