Comment trouver des ensembles de nombres polynomialement limités dont les sommes des sous-ensembles sont différentes?

Question

Laisser $ n $ être n'importe quel entier de positibe et réglé $ N = {1, Dots, n } $. Sélectionnez maintenant deux sous-ensembles arbitraires mais différents de $ N $, dire $ S $ et $ S '$. Nous souhaitons trouver une fonction $ pi (a) = sum_ {i dans a} a_i $ tel que nous avons toujours $ pi (s) ne pi (s ') $. Par exemple, nous pouvons définir $ a_i = 2 ^ i $. Cette fonction satisfait la propriété car pour chacun $ A subseseq n $, $ pi (a) $ représente de manière unique un entier écrit dans la base 2. Cependant, dans cette fonction $ a_i $ est délimité au-dessus par $ mathcal {o} (2 ^ n) $. Je recherche une fonction telle que $ | a_i | $ et $ frac {1} {| a_i |} $ sont délimités au-dessus par un polynôme. À titre d'exemple qui ne satisfait pas à cette dernière condition que nous pouvons considérer $ a_i = 2 ^ {in} $. Ce serait formidable de connaître différentes fonctions qui satisfont cette propriété. J'essaierai de prouver moi-même l'unicité (si ce n'est pas si difficile!), Alors faites-moi savoir si vous êtes conscient de ces fonctions.