Come trovare set di numeri limitati polinomia le cui somme di sottoinsieme sono diverse?

Question

Permettere $ n $ essere qualsiasi intero e set $ N = {1, dots, n } $. Ora seleziona due sottoinsiemi arbitrari ma diversi di $ N $, dire $ S $ e $ S '$. Siamo interessati a trovare una funzione $ pi (a) = sum_ {i in a} a_i $ tale che abbiamo sempre $ pi (s) ne pi (s ') $. Ad esempio, possiamo definire $ a_i = 2^i $. Questa funzione soddisfa la proprietà perché per ciascuno $ A sottoseteq n $, $ pi (a) $ rappresenta in modo univoco un numero intero scritto nella base 2. Tuttavia, in questa funzione $ a_i $ è limitato sopra da $ mathcal {o} (2^n) $. Sto cercando una funzione tale che $ | a_i | $ e $ frac {1} {| a_i |} $ sono delimitati sopra da un polinomio. Come esempio che non soddisfa quest'ultima condizione che possiamo considerare $ a_i = 2^{in} $. Sarebbe bello conoscere diverse funzioni che soddisfano questa proprietà. Cercherò di provare da solo l'unicità (se non è così difficile!), Quindi per favore fatemi sapere se sei a conoscenza di tali funzioni.