Construction MST distribuée dans O (log log n) Rounds dans une clique

Question

Je lis le journal MST CONSTRUCTION EN O (LOG LOG N) Rounds de communication dans une clique et essayer de comprendre l'analyse de l'exactitude, à la page 5.

Il montre par induction sur k (numéro de phase), que l'arbre couvrant, pour chaque cluster F (de la phase K), est en effet un fragment MST de ce groupe de sommets.

La réclamation est bien sûr insignifiante du cas de base, car les grappes sont des singletons de sommets. Pour montrer l'étape d'induction, il suffit de montrer que chaque bord $ e $ (où $ X gauche (e droite) = Left (f_ {1}, f_ {2} droite), f_ {1} in hat {f_ {1}}, f_ {2} in chapeau {f_ {2}} $, où $ F_ {1}, f_ {2} $ sont les grappes d'origine, c'est-à-dire les composants connectés du tour précédent, maintenant contractés en un seul sommet, et $ hat {f_ {1}}, hat {f_ {2}} $ sont leurs super clusters, c'est-à-dire les composants connectés les contenant, créés dans le cadre de cette procédure en phase $ k $) choisi par la procédure const_frags est en effet un bord minimum de poids (mwoe) de l'un ou l'autre $ H_ {1} = Underme ou $ H_ {2} = Underme. Ils supposent que $ e $ a été choisi dans le cadre de $ F_1 $'s $ mu $ les bords de poids sortant les plus légers et veulent montrer que $ e $ est en effet le mwoe de $ H_1 $. Alors ils supposent le contraire, il existe $ e '$ de poids inférieur que $ e $ qui est sortant de $ H_1 $.

Ce que je ne comprends pas, c'est pourquoi supposent-ils que $ e '$ est de cluster $ F_1 $ aussi bien? La seule chose que nous savons $ e '$ est qu'il est sortant de $ H_1 $. Cela signifie que c'est boîte être sortant d'un autre cluster- $ F ' in hat {f_ {1}} backslash gauche {f_ {1} droit } $. J'apprécierais toute aide! Merci!