Comment prouver que le journal (n!)> = CN Log (n) pour certains c> 0?

Question

comme lisant le livre Algorithmes de Dasgupta, Ch Papadimitriou. à la page 63.

Et il est bien connu que $ log (n!) ≥c cdot n cdot log n $ pour certains $ c> 0 $. Il existe de nombreuses façons de voir cela. Le plus simple est de remarquer que $ n! ge (n / 2) ^ {(n / 2)} $ car $ n! = 1 · 2 cdot cdots cdot n $ contient au moins $ n / 2 $ facteurs plus grands que $ n / 2 $; et ensuite prendre des journaux des deux côtés. Un autre consiste à rappeler la formule de Stirling.

Quelqu'un peut-il aider à trouver la preuve sur $ n! ge (n / 2) ^ {(n / 2)} $, ou comment devrions-nous le prouver nous-mêmes? Comme nous prenons le journal des deux côtés, il est devenu (en supposant que sa base est un nombre constant)) $ log (n!) $ sur le côté gauche, à droite, il est devenu $ log Left ((n / 2) ^ {(n / 2)} droite) $, simplifier encore $ (n / 2) log (n / 2) $ --> $ (n / 2) log (n ^ {- 2}) $, puis enfin sur le côté droit: $ (- n) log (n) $. Ensuite, nous avons terminé la preuve (?)

J'ai deux questions, c'est la preuve de $ n! ge (n / 2) ^ {(n / 2)} $ corrigée? Si c'est le cas, comment pouvons-nous discuter à "$ log (n!) ≥c cdot n cdot log n $ pour certains $ c> 0 $", sinon, comment pouvons-nous prouver que"$ log (n!) ≥c cdot n cdot log n $ pour certains $ c> 0 $"?