Mise en œuvre de la fonction SQRT (x);Qu'est-ce que $ (i ^ 2 \ \ leq x) \ terres ((i + 1) ^ 2> x) $ vérifier?

Question

Récemment, je travaillais sur un Question LeetCode

Compute and return the square root of x, where x is guaranteed to be a non-negative integer.

Since the return type is an integer, the decimal digits are truncated and only 
the integer part of the result is returned.

Example 1:

Input: 4
Output: 2
Example 2:

Input: 8
Output: 2
Explanation: The square root of 8 is 2.82842..., and since 
             the decimal part is truncated, 2 is returned.

Voici une solution que j'aime vraiment et que je comprends, sauf une ligne.Il utilise une recherche binaire pour accéder à la solution:

int mySqrt(int x) {
    if (x == 0) return x;
    int left = 1, right = INT_MAX, mid;
    while(left < right) {
        mid = left + (right - left)/2;
        if (mid <= x / mid && (mid + 1) > x / (mid + 1)) {
            return mid; 
        }
        if (mid < x/mid) {
            left = mid + 1;
        } else { // mid > x/mid
            right = mid;
        }
    }
    return right;
}

La question conceptuelle est la suivante: pourquoi est-il vrai qu'Enon donné un numéro particulier, disons $ i $ , $$ (i ^ 2 \ leq x) \ terre ((i + 1) ^ 2> x) $$ retourne si $ i $ est le tronquéReprésentation entière de la racine carrée de $ x $ ?(Le bloc de code ci-dessus renvoie sur la condition identique, mais l'inégalité est réarrangée pour éviter le débordement entier)

Answer 1

Je vais mettre les deux inégalités ensemble, pour la lisibilité: $ i ^ 2 \ leq x <(i + 1) ^ 2 $ .

.

Prendre le carré positif d'un nombre positif est une fonction monotone.D'où, $$ i ^ 2 \ leq x <(i + 1) ^ 2 \ implique i \ Leq | \ sqrt {x} |

Puis, la partie intergersion de $ | \ sqrt {x} | $ est évidemment $ i $ .