Proving Construire une matrice de tri équilibrée de BST est $ \ theta (n) $

Question

Je dois faire du mal à construire une matrice BST équilibrée hors de la griee triée est $ \ theta (n) $

J'ai eu la formule suivante: $$ t (n)= 2T (\ frac {n} {2}) + \ theta (1) $$

J'ai essayé de le prouver par induction mais j'ai été coincé avec le cas dans lequel $ n $ est un nombre impair.

Y a-t-il un meilleur moyen de le prouver?La substitution ne serait pas considérée comme une preuve valide (j'ai atteint la formule fermée à l'aide de la substitution du parcours).

Answer 1

Si vous êtes autorisé à utiliser le Master Theorem puis vous pouvez immédiatement conclure que $ t (n)=theta (n) $ (puisque $ n ^ {\ log_2 2}= n=oméga (1) $ ).

Si vous n'êtes pas autorisé à utiliser le théorème principal, vous pouvez écrire cette récurrence à la place: $$ T (n) \ le 2t (\ lflfor n / 2 \ rfloor) + c, $$ où $ C> 0 $ est une constante absolue et $ t (1) \ le C $ . < / p>

alors vous pouvez prouver par induction que $ t (n) \ le 2cn - C $ . Le boîtier de base est $ n= 1 $ et est trivial depuis $ t (1) \ le c= 2cn - C $ . Considérez maintenant N> 1 $ et supposons que la réclamation conserve jusqu'à $ n-1 $ , nous Va prouver qu'il contient aussi pour $ n $ : $$ T (n)= 2T (\ lfloor n / 2 \ rfloor) + c \ le 2 (2c \ lfloor n / 2 \ rfloor-c) + c \ le 2CN - 2C + C= 2CN-C. $$