Meilleur cas "Hauteur d'inclinaison" d'un arbre arbitraire

Question

donné un arbre binaire arbitraire sur $ n $ noeuds, choisissez une affectation $ A $ de chaque parent à l'un de ses enfants (l'enfant "favorisé" telle qu'elle était). Nous définissons la hauteur d'inclinaison de l'arbre comme $ h_a (\ mathsf {nil})= 0 $ et $ h_a (\ mathsf {node} \; a \; b)=max (h_a (a), h_a (b) +1) $ si $ A (\ mathsf {noeud } \; a \; b)= un $ est l'enfant privilégié et symétriquement $ \ max (ha_a (a) +1, h_a (b)) $ si $ b $ est favorisé.

La question est la suivante: pour un arborescence fixe $ t $ , quelle est la hauteur minimale d'inclinaison sur toutes les tâches? Je voudrais obtenir une liaison asymptotique sur $ f (n)=max_ {| t |= n} \ min_ah_a (t) $ .

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Autres variations de ce problème, je suis intéressé à ce que les arbres ne sont pas binaires (mais il y a encore un enfant favorisé et tous les autres ajoutent une à la hauteur), et quand il y a le partage (c'est-à-dire qu'il s'agit d'un DAG), Ce qui n'affecte pas le calcul de la hauteur mais permet aux "arbres" beaucoup plus larges tout en restant sous la $ n $ nœud lié.

Les limites évidentes sont $ f (n)=oméga (\ journal n) $ et $ f (n )= O (n) $ . Mon hypothèse est que $ f (n)=theta (\ log n) $ pour les arbres binaires et $ f ( n)=theta (\ sqrt n) $ pour les dags (avec une sorte de grille de grille comme contre exemple).

Answer 1

Pour un arbre binaire, laissez $ h (t)=min_ah_a (t) $ , où $ a $ gammes sur toutes les affectations favorisées-enfant de $ t $ . Call $ H (T) $ la hauteur style de $ t $ .

Voici une simple observation. La hauteur d'une hauteur d'un arbre binaire parfait de hauteur (ordinaire) $ n $ est $ n $ .

pour un arbre binaire $ T $ , un bord est appelé bord de passage si l'un des points d'extrémité a exactement un enfant. Nous appelons un arbre binaire $ M $ un B-mineur de $ t $ si $ M $ peut être obtenu en supprimant un sous-arbre ou en contractant un bord de passage à plusieurs reprises.

pour un arbre binaire $ t $ , quelle est sa hauteur d'inclinaison? Voici une caractérisation visuelle.

la hauteur d'inclinaison de $ t $ est la hauteur maximale (ordinaire) de tous les arbres binaires parfaits qui sont également des mineurs de $ t $ . intuitivement parlant, un arbre binaire est de hauteur d'inclinaison $ S $ $ \ iff $ il" contient "un arbre binaire parfait de hauteur ordinaire $ s $

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preuve. Depuis la suppression d'un sous-arbre et la contraction d'un bord de passage n'augmente pas la hauteur d'inclinaison, $$ h (t) \ ge \ max_ { M \ Text {est une mineure B de t}} \ mathsf {hauteur} (m), $$ où $ \ mathsf {hauteur} (\ CDOT) $ est la hauteur (ordinaire) d'un arbre. D'autre part, par induction sur le nombre de nœuds de $ t $ , nous pouvons montrer qu'un arbre binaire de hauteur d'inclinaison $ S $ doit contenir un mineur B qui est un arbre binaire parfait de hauteur ordinaire $ s $ . $ \ quad \ checkmark $ .

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Rappelez que $ N $ est le nombre de nœuds dans $ t $ . On a, $$ h (t) \ Le \ lceil \ log_2 (n + 1) \ rcil - 1. $$ Preuve. Induction sur N $ N $ . Le cas de base, $ n= 1 $ est facile à vérifier.

Supposons qu'il soit vrai si le nombre de nœuds dans $ t $ est plus petit que $ n $ . Envisager un arbre binaire $ t $ de $ n $ nœuds avec noeud racine $ r $ .

• si $ r $ a un seul enfant, disons, $ a $ , puis $$ H (T)= H (\ Text {Texte {Le sous-arbre enraciné à} a) \ Le \ lceil \ log_2 ((N-1) +1) \ RCEIL - 1 \ LE \ LCEIL \ log_2 (n + 1) \ rcil - 1. $$
• si $ r $ a deux enfants, disons, $ A $ A $ " Conteneur mathématique "> $ B $ . Depuis le nombre de nœuds dans le sous-arbre enraciné à $ a $ et le sous-arbre enraciné à $ B $ est $ N-1 $ , l'un des sous-arbres a au plus $ \ lflfor (n-1) / 2 \ rfloor $ $ nœuds. Wlog, supposons que ce soit le sous-arbre enraciné à $ B $ . Puis $$ h (t)=max (h (\ texte {le texte {le sous-arbre enraciné à} a) + 1, h (\ texte {le sous-arbre enraciné à} b)) \\ \ LE \ max (\ lceil \ log_2 (\ lflfor (n-1) / 2 \ rfloor + 1) \ rcil, \ lceil \ log_2 ((N-2) +1) \ rceil -1) $$ Depuis $$ \ lceil \ log_2 (\ lfloor (n-1) / 2 \ rfloor + 1) \ rcil=lceil \ log_2 (\ lflfor (n + 1) / 2 \ rfloor) \ rceil=lceil \ log_2 (n + 1) \ rceil-1, $$ Nous avons $ h (t) \ le \ lceil \ log_2 (n + 1) \ rceil-1. $ $ \ Quad \ checkmark $

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Rappelez-vous que $ f (n)=max_ {t \ text {est un arbre binaire et} | t |= n} h (t) $ . La section ci-dessus a prouvé $ f (n) \ le \ lceil \ log_2 (n + 1) \ rcil-1 $ .

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D'autre part, le poids d'inclinaison de l'arbre binaire parfait avec 2 ^ m-1 $ nœud est $ M-1 $ . D'où, $$ f (n)=lceil \ log_2 (n + 1) \ rcil-1. $$