Somme des séries: 1 ^ 1 + 2 ^ 2 + 3 ^ 3 + ... + n ^ n (mod m)

Question

Quelqu'un peut-il me donner une idée d'un algorithme efficace pour n grand (disons 10 ^ 10) pour trouver la somme de la série ci-dessus?

mycode est de se klilled pour n = m = 100000 et 200000

#include<stdio.h>

int main() {
    int n,m,i,j,sum,t;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    sum=0;
    for(i=1;i<=n;i++) {
        t=1;
        for(j=1;j<=i;j++)
            t=((long long)t*i)%m;
        sum=(sum+t)%m;
    }
    printf("%d\n",sum);

}

Answer 1

Deux notes:

(a + b + c) % m

est équivalent à

(a % m + b % m + c % m) % m 

et

(a * b * c) % m

est équivalent à

((a % m) * (b % m) * (c % m)) % m

Par conséquent, vous pouvez calculer chaque terme en utilisant une fonction récursive en O (log p ):

int expmod(int n, int p, int m) {
   if (p == 0) return 1;
   int nm = n % m;
   long long r = expmod(nm, p / 2, m);
   r = (r * r) % m;
   if (p % 2 == 0) return r;
   return (r * nm) % m;
}

et les éléments de somme en utilisant une boucle de for:

long long r = 0;
for (int i = 1; i <= n; ++i)
    r = (r + expmod(i, i, m)) % m;

Cet algorithme est O ( n log n ).

Answer 2

Je pense que vous pouvez utiliser le théorème d'Euler pour éviter certains exponentation, comme phi (200000) = 80000. théorème chinois pourrait aussi aider, car il réduit le modulo.

Answer 3

Vous pouvez jeter un oeil à ma réponse ce poste . La mise en œuvre il y a un peu buggé, mais l'idée est là. La stratégie clé est de trouver x tel que n ^ (x-1) m et à plusieurs reprises de réduire n ^ n% m (n ^ x% m) ^ (n / x) * n ^ ( n% x)% m. Je suis sûr que cette stratégie fonctionne.

Answer 4

Je rencontrais récemment question similaire: mon 'n' est 1435, 'm' est 10 ^ 10. Voici ma solution (C #):

ulong n = 1435, s = 0, mod = 0;
mod = ulong.Parse(Math.Pow(10, 10).ToString());
for (ulong i = 1; i <= n; 
{
     ulong summand = i;
     for (ulong j = 2; j <= i; j++)
     {
         summand *= i;
         summand = summand % mod;
     }
     s += summand;
     s = s % mod;
}

« d » A la fin est égal au nombre requis.

Answer 5

Êtes-vous faire tuer ici:

for(j=1;j<=i;j++)
    t=((long long)t*i)%m;

Exponentials mod m pourraient être mises en œuvre en utilisant la somme de méthode des moindres carrés.

n = 10000;
m = 20000;
sqr = n;
bit = n;
sum = 0;

while(bit > 0)
{
    if(bit % 2 == 1)
    {
        sum += sqr;
    }
    sqr = (sqr * sqr) % m;
    bit >>= 2;
}

Answer 6

Je ne peux pas ajouter un commentaire, mais pour le théorème chinois, voir http: // MathWorld. les formules de wolfram.com/ChineseRemainderTheorem.html (4) - (6).