Toute tentative de trouver une formule pour les rectangles de tessellation sur une planche, où le carré du milieu ne peut pas être utilisé

Question

Je travaille sur un problème d'empilement spatial ... en ce moment je suis en train de résoudre en 2D, mais devront éventuellement faire ce travail en 3D.

Je divise l'espace en carrés nxn autour d'un bloc central, donc n est toujours bizarre ... et je suis en train de trouver le nombre d'emplacements qu'un rectangle d'une dimension inférieure à nxn (par exemple 1x1, 1x2, 2x2 etc) peut être placé, où la place du milieu est pas disponible.

Jusqu'à présent, j'ai ce ..

total number of rectangles = ((n^2 + n)^2 ) / 4

.. également le nombre total de carrés = (n (n + 1) (2n + 1)) / 6

Cependant, je suis coincé dans l'élaboration d'une formule pour trouver combien de ces endroits sont impossibles que serait occupé la place du milieu.

Ainsi, par exemple:

[] [] []

[] [x] []

[] [] []

3 x 3 ... planche à 8 emplacements possibles pour le stockage des choses comme milieu carrée est en cours d'utilisation. Je peux utiliser des formes de 1x1, des formes, 2x1 1x2, 3x1, etc ...

Formule me donne le nombre de rectangles comme suit: (9 + 3) ^ 2/4 = 144/4 = 36 emplacements d'empilage Cependant, comme le carré du milieu est inhabitable ils ne peuvent pas tous être réalisés.

Par contre, je peux voir que ces options sont impossibles:

1x1 formes = 1 impossible (mi carrés) formes 2x1 = 4 impossible (tout ce qui utilise la place mi) 3x1 = 2 impossible 2x2 = 4 impossible etc Total des combinaisons impossibles = 16

Par conséquent, la solution que je suis AFTER est 36-16 = 20 emplacements possibles rectangulaires d'empilage sur une planche de 3x3.

J'ai codé cela en C # pour le résoudre par essais et erreurs, mais je suis vraiment après une formule que je veux résoudre des valeurs massives de n, et aussi, à terme, faire ce 3D.

Quelqu'un peut-il me indiquer toutes les formules pour ce genre de problème spatial / tessellation? Aussi une idée sur la façon de prendre la formule totale du rectangle en 3D bienvenue!

Merci!

Answer 1

Ok .. donc j'ai une réponse qui est maintenant .. le total des cas impossibles est défini par:

n ^ 4 où n est l'ordre de la taille de la grille en utilisant uniquement des grilles impairs

2 ^ 4 = 16 (grille est de 3 par 3) 3 ^ 4 = 81 (grille est de 5 par 5) 4 ^ 4 = 256 (grille est 7 par 7) etc