L'aumento di entropia del random walk
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16-10-2019 - |
Domanda
Sia $ P $ un matrice di transizione di una passeggiata casuale in un non orientato (non può regolare) grafo $ G $. Sia $ \ pi $ essere una distribuzione su $ V (G) $. L'entropia di Shannon di $ \ pi $ è definito da
$$ H (\ pi) = -. \ Sum_ {v \ in V (G)} \ pi_v \ cdot \ log (\ pi_v) $$
Come si fa a dimostrare che $ H (P \ pi) \ ge H (\ pi) $?
Soluzione
Questo è anche vero? Si consideri un grafo non orientato, che è una stella. Che è, un vertice centrale $ V_0 $ è collegato a tutti gli altri vertici $ V_1, V_2, \ dots, V_ {n-1} $, e non ci sono altri bordi nel grafico. Quindi, se si inizia con una distribuzione uniforme su $ V_1, V_2, \ ldots, V_ {n-1} $, dopo un passo tutto il peso è sul vertice centrale $ V_0 $. Quindi, in un passo l'entropia è passato da $ \ log (n-1) $ a $ 0 $.