ランダムウォークのエントロピーの増加

Question

$ p $を無向のランダムウォークの遷移マトリックスとします （通常ではないかもしれません） グラフ$ g $。 $ pi $を$ v（g）$の分布とします。 $ pi $のシャノンエントロピーは、

$$ h（ pi）= - sum_ {v in v（g）} pi_v cdot log（ pi_v）。$$

$ h（p pi） ge h（ pi）$を証明するにはどうすればよいですか？

Answer 1

これは真実ですか？星である無向グラフを考えてみましょう。つまり、中央の頂点$ v_0 $は、他のすべての頂点$ v_1、v_2、 dots、v_ {n-1} $に接続されており、グラフに他のエッジはありません。次に、$ v_1、v_2、 ldots、v_ {n-1} $の等しい分布で開始すると、1つのステップの後、すべての重量が中央の頂点$ v_0 $にあります。したがって、1つのステップでは、エントロピーは$ log（n-1）$から$ 0 $になりました。