F - derivazione della misura (media armonica di precisione e richiamo)

Question

Possiamo definire la misura F come segue:

$F_{\alpha}=\frac{1}{\alpha \frac{1}{P}+(1-\alpha)\frac{1}{R}} $

Ora potremmo essere interessati a scegliere un buon $\alpha$.Nell'articolo La verità della misura F l'autore afferma che si possono scegliere le condizioni:

$\beta=R/P$, dove $\frac{\partial F_{\alpha}}{\partial P}=\frac{\partial F_{\alpha}}{\partial R}$

e quindi otteniamo $\alpha=1/(\beta^2+1)$ e

$F_{\beta}=\frac{(1+\beta^2)PR}{\beta^2 P+R} $

Si dice che La motivazione dietro questa condizione è che nel punto in cui i gradienti di E w.r.t.P e R sono uguali, il rapporto di R contro P dovrebbe essere un rapporto desiderato $ beta $. Comprendo che la condizione garantirà che l'utente è disposto a scambiare un incremento di precisione con una pari perdita di richiamo.Ma non capisco perché l'uguaglianza di entrambe le derivate parziali corrisponda a queste ipotesi.Preferirei capire quando una derivata parziale è uguale all'altra derivata parziale moltiplicata per meno uno.Qualcuno potrebbe spiegarmi perché la condizione desiderata (condizione in parole) corrisponde a questa uguaglianza (condizione in termini matematici)?

MODIFICARE:

Bene, potremmo fare quanto segue:

$\partial F=\frac{\partial F_{\alpha}}{\partial P}\partial P+\frac{\partial F_{\alpha}}{\partial R}\partial R$.

E poiché vogliamo per $\partial P=-\partial R$ che $\partial F=0$, otteniamo facilmente la condizione.

Ma ho un problema con questo:Poiché $\frac{\partial F_{\alpha}}{\partial P}/\frac{\partial F_{\alpha}}{\partial R}=1$, e il fatto che il gradiente è perpendicolare a ciascun livello curva (https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-02sc-multivariable-calculus-fall-2010/2.-partial-derivatives/part-b-chain-rule-gradient-and-direction-derivatives/session -36-proof/MIT18_02SC_pb_32_comb.pdf) avremmo che la curva di livello deve avere $m=-1$.Tuttavia, quando calcolo la curva di livello per una costante $c$ ottengo il risultato,

$R(P)=\frac{c(1-\alpha ) P}{P-c\alpha}$,

che chiaramente non è una funzione lineare con $m=-1$.Cosa mi manca?