Logica proposizionale - completezza sintattica

Question

Consideriamo la logica proposizionale. Diciamo che un sistema di prova per la logica proposizionale è sintatticamente (negazione) completa se per ogni $ alpha $, o $ alpha $ o $ neg alpha $ sono dimostrabili all'interno del sistema, cioè $ sigma vdash alpha $ $ o $ Sigma vdash neg alpha $. (Suppongo che le definizioni standard per $ Sigma $ e $ vdash $).

Mi sembra che nessun sistema di prove valide per la logica proposizionale possa dimostrare $ p $ o $ neg p $ da un set vuoto di frasi, in cui $ p $ è un atomo proposizionale. Quindi, la logica proposizionale non è sintatticamente completa.

Ora, è per me che questo è una specie di completezza che Godel stava prendendo in considerazione nel suo teorema di incompletezza per fol. Poiché la fol (con abuso di terminologia) sottopone la logica proposizionale, sostiene banalmente che neanche la fol è sintatticamente completa. Questo sembra semplice, quindi mi chiedo cosa sto facendo di sbagliato? O la sua prova si è concentrata specificamente sull'aritmetica del peano?

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