Puzzle di conversione di base

Question

Ecco un vecchio puzzle: lascia $ s $ una stringa di cifre decimali ($ s [i] in {0, dotsc, 9 } $). Definisci una funzione $ f (s) $ come segue:

• Interpreta $ s $ come numero decimale, $ n_ {10} $, e converti $ n $ al suo equivalente ottale, $ m_8 $.
• Ora tratta $ m $ come numero decimale, $ m_ {10} $ e convertilo nel suo equivalente esadecimale, $ h_ {16} $, e restituisce la sua rappresentazione esadecimale come stringa.

Ad esempio, se $ s = langle245 rangle $ avremmo $ 245_ {10} = 365_8 $ e $ 365_ {10} = 163_ {16} $ SO In questo caso, $ f ( langle245 rangle) = Langle163 Rangle $. Allo stesso modo, $ f ( langle155 rangle) = langle mathrm {e} 9 rangle $

Quali sono i punti fissi di $ f $? In altre parole, per quali stringhe di cifre $ s $ è $ f (s) = s $?

Ho alcune domande su questo puzzle:

1. Non è difficile dimostrare che $ {0, dotsc, 7, 64, dotsc, 69 } $ sono tutti punti fissi. Sono questi gli unici? Ho una prova che lo sono, ma è inelegante, in sostanza dimostrando che dopo un certo punto, $ p (s) <s $ o $ p (s) $ non è una stringa decimale. Qualcuno ha una prova più bella, per un certo valore di "più bello"?
2. Ho trascorso più tempo di quanto dovrei in una cosidiera inutile ricerca per un riferimento a questo problema. Qualcuno ne ha uno? Tutto quello che so è che ha decenni.