Teoria del dominio: definizione degli isomorfismi

Question

Considera le seguenti definizioni di CPO, monotonicità e continuità: la coppia $ (m, leq) $ si chiama CPO (Ordine parziale completo), Se

• $ M $ è un set,
• $ leq $ è un ordine parziale su $ m $,
• esiste un minimo elemento secondo $ leq $ in $ m $ (chiamato parte inferiore, $ bot $),
• Per ogni catena $ m_0, m_1, m_2, dots $ in $ m $ il suo supremum $ bigsqcup {m_0, m_1, m_2, dots } $ (minimo limite superiore) esiste in $ m $.

; $ detiene)

Una funzione $ f colon m a n $ tra due cpos $ (m, leq) $ e $ (n, sqsubseteq) $ è chiamato monotono Se per tutti $ A, b in m $

$$ a leq b implica f (a) sqsubseteq f (b) $$

tiene.

Una funzione $ f colon m a n $ tra due cpos $ (m, leq) $ e $ (n, sqsubseteq) $ è chiamato continuo, se è già monotone e per tutte le catene $ m_0, m_1, m_2, dots $ abbiamo

$$ f left ( bigsqcup {m_0, m_1, m_2, dots } a destra) = bigsqcup {f (m_0), f (m_1), f (m_2), dots }. $$$ }. $$ $$

Ho letto in un libro usando le definizioni sopra che due cpos $ (m, leq) $ e $ (n, sqsubseteq) $ sono isomorfo Se esiste una funzione $ f colon m a n $ tale

• $ f $ è bijective
• $ f $ e $ f^{-1} $ sono continui (e quindi monotoni).

Capisco la domanda di $ f $ e $ f^{-1} $ essendo monotono, in modo che preservino l'ordine.

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Domanda: perché non è sufficiente? Perché chiediamo anche $ F $ per essere continui? Perché anche la sua funzione inversa? Quali sono gli esempi in cui una violazione di una proprietà comporterebbe una strana visione dell'equivalenza? Un'altra domanda: è possibile abbandonare una proprietà, perché l'altra la implicherebbe? Sto pensando di chiedere solo la continuità di $ f $ e dimostrare che segue la continuità di $ f^{-1} $-tuttavia non sono stato in grado di farlo o di trovare un contro.

EDIT: suggerisco una teoria del dominio «tag.