Théorie du domaine: définition des isomorphismes

Question

Considérez les définitions suivantes des CPO, monotonicité et continuité: la paire $ (m, leq) $ est appelée CPO (Ordre partiel complet), si

• $ M $ est un ensemble,
• $ leq $ est une commande partielle sur $ m $,
• Il existe un moindre élément selon $ leq $ dans $ m $ (appelé fond, $ bot $),
• Pour chaque chaîne $ M_0, M_1, M_2, DOTS $ dans $ m $ son supremum $ bigsqcup {m_0, m_1, m_2, Dots } $ (le moins de liaison supérieure) existe dans $ m $.

(Lorsqu'une chaîne est une séquence $ m_0, m_1, m_2, dots $ d'éléments dans $ m $ tel que pour tous les $ i, j in mathbb {n} $ $ m_i leq m_j vee m_j leq m_i $ titulaire)

Une fonction $ f colon m to n $ entre deux CPOS $ (m, leq) $ et $ (n, sqSubseteq) $ est appelé monotone Si pour tout $ a, b in m $

$$ a leq b implique f (a) sqsubseteq f (b) $$

titulaire.

Une fonction $ f colon m to n $ entre deux CPOS $ (m, leq) $ et $ (n, sqSubseteq) $ est appelé continu, s'il est déjà monotone et pour toutes les chaînes $ m_0, m_1, m_2, points $ nous avons

$$ f Left ( bigsqcup {m_0, m_1, m_2, dotes } droite) = bigsqcup {f (m_0), f (m_1), f (m_2), dots }. $$

J'ai lu dans un livre en utilisant des définitions ci-dessus que deux CPOS $ (m, leq) $ et $ (n, sqsubseteq) $ sont isomorphe S'il existe une fonction $ f colon m to n $ tel que

• $ f $ est bijectif
• $ f $ et $ f ^ {- 1} $ sont continus (et donc monotone).

Je comprends la demande de $ f $ et $ f ^ {- 1} $ étant monotone, de sorte qu'ils préservent la commande.

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Question: Pourquoi n'est-ce pas suffisant? Pourquoi exigeons-nous également que $ f $ pour être continu? Pourquoi sa fonction inverse aussi? Quels sont les exemples où une violation d'une propriété entraînerait une vision étrange de l'équivalence? Une autre question: est-il possible de laisser tomber une propriété, car l'autre le impliquerait? Je pense à exiger uniquement la continuité de $ f $ et à montrer que la continuité de $ f ^ {- 1} $ suit - mais je n'ai pas pu le faire, ou pour trouver un contre-exemple.

Edit: Je suggère une »théorie du domaine« tag.