Comprensione dell'errore di troncamento e arrotondamento nel sistema di punti mobili IEEE?

Question

Sto cercando di capire la teoria dietro la ricerca del valore $ H $ ottimale per la differenziazione in questa definizione:

$$ frac {f (x+h) - f (x)} {h} $$

Come $ H $ tende a 0.

Ecco la mia comprensione:

1. L'errore di troncamento proviene dall'approssimazione del valore di $ f (x+h) $ usando la serie Taylor. In questo caso, potrebbe essere quello:

$$ f (x + h) approssimativo f (x) + hf '(x) + frac {h^2} {2!} f' '(x) + o (h^3) $$

2. Lasciare che $ f '(x) $ sia il soggetto poiché vogliamo trovare il gradiente $ f' (x) $, abbiamo

$$ f '(x) = frac {f (x) - (hf' (x) + frac {h^2} {2!} f '' (x) + o (h^3))}} H} $$ $$ implica f '(x) = frac {f (x + h) -f (x)} {h} - frac {h} {2} f' '(x) + o ( h^2) $$

Intuitivamente, possiamo fermarci qui lasciando $ H ca. Sqrt epsilon $ dove $ epsilon $ è la macchina Epsilon, possiamo quindi limitare il nostro errore di troncamento. Ma supponiamo che continuiamo, quindi il nostro errore di troncamento è $ frac {h} {2} f '' (x) $.

3. Quindi l'errore di arrotondamento proviene dall'interazione delle somme nell'equazione di differenziazione:

$$ frac {f (x + h) - f (x)} {h} = frac {[f (x) + hf '(x) + o (h^2)] - f (x)} H} $$

Ma per $ f '(x) circa 1 $ e poiché abbiamo $ h ca. sqrt epsilon $, abbiamo

$$ frac {f (x+h) - f (x)} {h} ca. circa 1 pm frac { epsilon} {h} $$

Il che significa che l'errore di arrotondamento è approssimativamente $ frac { epsilon} {h} $, che concorda con il fatto che il lato sinistro dell'equazione è in realtà $ f '(x) $ e, solo che siamo riusciti a farlo Ridurre l'errore di arrotondamento a ciò che viene visto sul lato destro.

4. Ora, vediamo che il nostro errore di troncamento varia linearmente con $ H $ mentre il nostro errore di arrotondamento varia inversamente con $ H $. Per trovare il valore $ H $ ottimale, equivalliamo entrambi gli errori:

$$ frac { epsilon} {h} = frac {h} {2} f '' (x) approssimale frac {h} {2} $$ Dato 1 $.

Lasciando che $ H $ sia l'argomento, abbiamo $$ H = sqrt {2 epsilon} $$ Il che significa che ottimale $ h $ è circa $ h = sqrt { epsilon} $ come previsto.

La mia comprensione è corretta? Il fattore finale di 2 alla fine è importante?

Grande problema nell'argomento sopra: al punto 3, si usa già il fatto che $ h = sqrt epsilon $. Ciò non sconfiggerebbe già lo scopo di trovare $ H $ ottimale?