Singleton in un semplice SBM

Question

Non riesco a capire la soluzione al seguente esercizio:

abbiamo $ 2n $ Vertici raggruppati $2$ gruppi di uguale dimensione. La probabilità di avere un vantaggio tra $ i $ e $ j $ è $ p $ Se $ i $ e $ j $ sono nello stesso cluster e $ Q $ altrimenti. Questo è un semplice SBM con $2$ gruppi. Il problema chiede di dimostrare che se $ (p+q) << log (n)/n $, la probabilità di avere un singleton nella realizzazione di questo SBM va a $1$ È n va all'infinito.

Qui $ (p+q) << log (n)/n $ significa che $ f (n) = p (n) + q (n) $ ha una funzione di $ n $ soddisfare $ UNDERSET {n Rightarrow infty} lim frac {f (n)} { log (n)/n} = 0 $.

Ho provato il seguente approccio. Permettere $ S $ l'evento che siamo interessati e per qualsiasi vertice $ i $ permettere $ X_i $ essere l'indicatore variabile casuale dell'evento $ i $ è singleton. Definire $ X = sum_ {i} x_i $, poi $ mathbb {p} (s) = 1 - mathbb {p} (x = 0) $. Da $ X $ non è negativo, quindi $ mathbb {p} (x = 0) le frac { text {var} [x]} {( mathbb {e} [x])^2} $.

Inoltre, lo osservo da allora $ X_i $ è valutato binario, quindi $ text {var} [x_i] le mathbb {e} [x_i^2] = mathbb {e} [x_i] $. Così

$$ text {var} [x] le mathbb {e} [x] + sum_ {i} sum_ {j ne i} text {cov} [x_i, x_j] $$

Calcolo di tutti i termini che ottengo:

$$ mathbb {e} [x] = 2n (1-P)^{n-1} (1-q)^{n} $$ $$ sum_ {i} sum_ {j ne i} text {cov} [x_i, x_j] = n^2q (1-p)^{2n-2} (1-q)^{2n-1 } + n (n-1) p (1-p)^{2n-3} (1-q)^{2n} le n^2 (1-P)^{2n-3} (1-Q) ^{2n-1} (p + q) $$

Per le convarianze, ho diviso i casi quando $ i $ e $ j $ sono nello stesso cluster e quando $ i $ e $ j $ sono in cluster diversi.

Tutto sommato, ottengo:$$ frac { text {var} [x]} {( mathbb {e} [x])^2} le frac {2n (1-P)^{n-1} (1-Q) ^{n} + n^2 (1-P)^{2n-3} (1-q)^{2n-1} (p + q)} {4n^2 (1-P)^{2n-2 } (1-Q)^{2n}} $$

Questo termine non sembra abbastanza giusto per quello che dovrei dimostrare, vero?