Esercizio 11 della sezione 3.2.2 (l'arte della programmazione informatica)

Question

Sto chiedendo della sua parte A.

a) if $ f (z), spazio a (z), spazio b (z) $ sono polinomi con coefficienti interi, scriviamo $ a (z) equiv b (z) ( operatorname {mod} f (z) Space e Space m) $Se $ a (z) = b (z) + f (z) u (z) + mv (z) $. Dimostra che la seguente dichiarazione contiene quando $ p^e> 2 $ (P Prime), $ f (0) = 1 $:

Se $ z^ lambda equiv 1 ( operatorname {mod} f (z) Space and Space p^{e}) $ e $ z^ lambda not equiv 1 ( operatorname {mod} f (z) Space e Space p^{e+1}) $ poi $ z^{p lambda} equiv 1 ( operatorname {mod} f (z) Space e Space p^{e+1}) Space ma Space z^{p lambda} not equiv 1 ( operatorname {mod} f (z) Space e Space p^{e+2}) $

Ecco il mio ragionamento:
abbiamo $ z^ lambda $ ha la forma di$$ f (z) u (z) + p^ev (z) + 1 $$dove $ p^{e+1} | f (z) u (z), f (z) | p^ev (z) $ e $ v (z) not equiv 0 ( operatorname {mod} p) $ (*)
Oppure possiamo semplicemente semplificarlo come: $ z^ lambda = z + 1 $, dove z è un multiplo di $ f (z) $ e $ p^e $ ma no $ p^{e+1} $è uno. Così:$$ z^{p lambda} = 1+ {p sc i piedi 1} z+{p scere 2} z^2+... $$
$ z^{p lambda} -1 $ è certamente divisibile da f (z). Inoltre, possiamo vederlo $ {p scegli k} z^k (1 leqslant k leqslant p-1) $ è un multiplo di $ p^{e+1} $ e $ p^{e+2} | z^p $(dovuto al fatto $ p^e> 2 $,$ p^{pe} | z^p $ implica $ p^{e+2} | z^p $). Ora possiamo concludere:$$ z^{p lambda} equiv 1 ( operatorname {mod} f (z) Space e Space p^{e+1}) $$

Successivamente, è facile da stabilire: $ p^{e+2} | p^{(e+1) k} $,dove $ k geqslant $ 2. E questo mostra:$$ z^{p lambda} equiv 1+p^{e+1} v (z) ( operatorname {mod} p^{e+2} Space e Space f (z)) $$A causa di (*),$ 1+p^{e+1} v (z) not equiv 1 ( operatorname {mod} p^{e+2}), completando la prova

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La mia prova si basa sulla risposta dell'esercizio 11. e la differenza tra esso e la mia mi rende confuso.

Se $ p^{e+1} v (z) equiv 0 ( operatorname {mod} f (z) Space e Space p^{e+2}) $, deve esistere $ a (z) $ e $ b (z) $ tale che $ p^{e +1} (v (z) +pa (z)) = f (z) b (z) $. Da $ f (0) = 1 $, ciò implica $ p^{e+1} | b (z) $(di Guass's Lemma 4.6.1G); quindi $ v (z) equiv 0 ( operatorname {mod} f (z) Space e Space p) $, una contraddizione.

Quindi, le mie domande sono:
1. Perché è necessario l'argomento di cui sopra?
2. Il lemma di Gauss è 4.6.1g quello in Wikipedia?