Conteggio dei circuiti con vincoli

Question

Per favore perdonami se questa domanda è banale, non potrei venire con una risposta (né trovarne uno).

Per dimostrare che ci sono funzioni booleane $ f: \ {0,1 \} ^ n \ raddopping \ {0,1 \} $ che può essere calcolato solo usando circuiti di dimensioni $ \ omega (2 ^ n / n) $ , usiamo un argomento di conteggio: ci sono al massimo $ O (2 ^ {k \ log k}) $ Circuiti di dimensioni $ k $ e $ 2 ^ {2 ^ N} $ Tali funzioni.

Supponiamo di essere interessato a contare i circuiti di dimensioni $ k $ che calcola funzioni diverse. Il "semplice" argomento di conteggio non funzionerà poiché potrebbe essere possibile che due circuiti diversi "sintatticamente" calcolano effettivamente la stessa funzione. In altre parole, voglio vincolare la dimensione del set: $$ f={f: \ {0,1 \} ^ n \ reapyarrow \ {0,1 \} | f \ text {può essere calcolato utilizzando un circuito di dimensioni} k \} $$

Allora $ | f | <$ il numero di circuiti di dimensioni $ k $ (poiché qualsiasi circuito calcola una funzione), ma come posso legare $ | f | $ Dal basso? (cioè $ x <| f | $ )

Answer 1

Per vincolare il numero di funzioni calcolate da circuiti di dimensioni $ k $ , hai almeno due opzioni:

.
• Costruisci un gran numero di circuiti di dimensioni $ k $ , che per costruzione calcola funzioni diverse.
• Considera una distribuzione naturale di probabilità sui circuiti di dimensioni $ k $ e stimare la probabilità che due circuiti casuali calcolano la stessa funzione.

Ad esempio, è noto che ogni funzione su $ m $ le variabili possono essere calcolate da un circuito di dimensioni $ O (2 ^ m / m) $ . Considerando le funzioni del modulo $ f_1 (x_1, \ ldots, x_m) \ lor \ cdots \ lor f_ {n / m} (x_ {n-m + 1}, \ Ldots , x_n) $ , questo mostra che ci sono almeno $ (2 ^ {2 ^ m}) ^ {n / m} $ diverse funzioni calcolate per circuiti di dimensioni $ k= o (n2 ^ m / m ^ 2) $ . In termini di $ K $ , il numero di funzioni è approssimativamente esponenziale in $ k \ log k $ , per $ M \ GG \ log n $ .