Calcolo di un AABB per una sfera trasformato

Question

Ho una sfera rappresentato in spazio oggetti da un punto centrale e un raggio. La sfera si trasforma in spazio di mondo con una matrice di trasformazione che può includere le scale, rotazioni, e traduzioni. Ho bisogno di costruire un asse allineato riquadro per la sfera nello spazio mondo, ma non sono sicuro di come farlo.

Ecco il mio approccio attuale, che funziona per alcuni casi:

public void computeBoundingBox() {
    // center is the middle of the sphere
    // averagePosition is the middle of the AABB
    // getObjToWorldTransform() is a matrix from obj to world space
    getObjToWorldTransform().rightMultiply(center, averagePosition);

    Point3 onSphere = new Point3(center);
    onSphere.scaleAdd(radius, new Vector3(1, 1, 1));
    getObjToWorldTransform().rightMultiply(onSphere);

    // but how do you know that the transformed radius is uniform?
    double transformedRadius = onSphere.distance(averagePosition);

    // maxBound is the upper limit of the AABB
    maxBound.set(averagePosition);
    maxBound.scaleAdd(transformedRadius, new Vector3(1, 1, 1));

    // minBound is the lower limit of the AABB
    minBound.set(averagePosition);
    minBound.scaleAdd(transformedRadius, new Vector3(-1,-1,-1));
}

Comunque, io sono scettico che questo sarebbe sempre lavorare. Non dovrebbe fallire per scalatura non uniforme?

Answer 1

In generale, una sfera trasformato sarà un ellissoide di qualche tipo. Non è troppo difficile da ottenere un esatto riquadro di delimitazione per esso; se non si vuole passare attraverso tutto la matematica:

• Si noti che M è la vostra matrice di trasformazione (scale, rotazioni, traduzioni, ecc.)
• leggere la definizione di S seguente
• R calcolo come descritto verso la fine
• calcolare la x, y e limiti z sulla base di R come descritto scorso.

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A conica generale (che comprende sfere e loro trasformate) può essere rappresentato come una matrice 4x4 simmetrica: un punto p omogeneo è all'interno del S conica quando p^t S p < 0. Trasformando lo spazio per la matrice M trasforma la matrice S come segue (la convenzione sotto è che i punti sono vettori colonna):

A unit-radius sphere about the origin is represented by:
S = [ 1  0  0  0 ]
    [ 0  1  0  0 ]
    [ 0  0  1  0 ]
    [ 0  0  0 -1 ]

point p is on the conic surface when:
0 = p^t S p
  = p^t M^t M^t^-1 S M^-1 M p
  = (M p)^t (M^-1^t S M^-1) (M p)

transformed point (M p) should preserve incidence
-> conic S transformed by matrix M is:  (M^-1^t S M^-1)

La doppia della conica, che si applica a piani invece di punti, è rappresentato dall'inverso di S; per aereo q (rappresentato come un vettore riga):

plane q is tangent to the conic when:
0 = q S^-1 q^t
  = q M^-1 M S^-1 M^t M^t^-1 q^t
  = (q M^-1) (M S^-1 M^t) (q M^-1)^t

transformed plane (q M^-1) should preserve incidence
-> dual conic transformed by matrix M is:  (M S^-1 M^t)

Quindi, siete alla ricerca di aerei dell'Asse allineati che sono tangenti alla conica trasformato:

let (M S^-1 M^t) = R = [ r11 r12 r13 r14 ]  (note that R is symmetric: R=R^t)
                       [ r12 r22 r23 r24 ]
                       [ r13 r23 r33 r34 ]
                       [ r14 r24 r34 r44 ]

axis-aligned planes are:
  xy planes:  [ 0 0 1 -z ]
  xz planes:  [ 0 1 0 -y ]
  yz planes:  [ 1 0 0 -x ]

Per trovare xy allineato piani tangenti a R:

  [0 0 1 -z] R [ 0 ] = r33 - 2 r34 z + r44 z^2 = 0
               [ 0 ]
               [ 1 ]
               [-z ]

  so, z = ( 2 r34 +/- sqrt(4 r34^2 - 4 r44 r33) ) / ( 2 r44 )
        = (r34 +/- sqrt(r34^2 - r44 r33) ) / r44

Analogamente, per piani XZ-allineato:

      y = (r24 +/- sqrt(r24^2 - r44 r22) ) / r44

e YZ-allineato:

      x = (r14 +/- sqrt(r14^2 - r44 r11) ) / r44

Questo ti dà una casella di delimitazione esatta per la sfera trasformato.

Answer 2

Questo non funziona per il ridimensionamento non uniforme. E 'possibile calcolare per arbitraria affine invertibile trasformare con moltiplicatori di Lagrange (KKT teorema) e credo che otterrà brutto.

Tuttavia - sei sicuro avete bisogno di un esatto AABB? Si può approssimare che trasformando l'AABB originale della sfera e ottenere la sua AABB. E 'più grande della AABB esatto quindi potrebbe misura la vostra applicazione.

Per questo abbiamo bisogno di avere tre pseudo-funzioni:

GetAABB(sphere) otterrà l'AABB di una sfera.

GetAABB(points-list) otterrà l'AABB del dato insieme di punti (solo il min / max coordinate di tutti i punti).

GetAABBCorners(p, q) otterrà tutti gli 8 punti angolo di un AABB (p e q sono tra loro).

(p, q) = GetAABB(sphere);
V = GetAABBCorners(p, q);
for i = 1 to 8 do
    V[i] = Transform(T, V[i]);
(p, q) = GetAABB(V);

Answer 3

@ di comingstorm risposta è grande, ma può essere semplificato molto. Se M è matrice di trasformazione della sfera, indicizzata da 1, allora

x = M[1,4] +/- sqrt(M[1,1]^2 + M[1,2]^2 + M[1,3]^2)
y = M[2,4] +/- sqrt(M[2,1]^2 + M[2,2]^2 + M[2,3]^2)
z = M[3,4] +/- sqrt(M[3,1]^2 + M[3,2]^2 + M[3,3]^2)

(Premesso che la sfera aveva raggio 1 e il suo centro all'origine prima che fosse trasformato.)

ho scritto un post sul blog con la prova qui , che è troppo lungo per un ragionevole Stack Overflow risposta.