URL自体にバージョン番号を使用することに慣れています(/v1/)。個人的には、これははるかにクリーンなアプローチだと思います。このようにして、エンドユーザー(または開発者)はHTTPヘッダーを処理する必要がなく、必要に応じてAPIの異なるバージョンにアクセスするためにREST API/Callを単純に変更できます。
さまざまな言語で出ているHTTP APIの一部がHTTPヘッダーを完全にサポートしていない可能性もあると考えているので、常にAPIをエンドユーザーが最も簡単に利用できるようにします。 URLを書き直すことは最も簡単な方法であり、HTTPをサポートするものは何でも動作するはずです。
最後に、URLを使用してAPIバージョンを指定できるようにすることで、Webブラウザーを使用して簡単なテストが可能になります。バージョンをHTTPヘッダーに組み込むと、開発者はプログラミング言語を使用してテストを行うことを余儀なくされます。