扱いにくい/扱いやすい満足度問題のバリアントの分類

Question

最近、私は論文[1]で、SATの特別な対称バージョンを見つけました 2/2/4-SAT. 。しかし、多くの$ text {np} $があります - たとえば、そこに完全なバリアントがあります。 モノトンNAE-3SAT, モノトーン1-in-3-sat, ...

他のいくつかのバリアントは扱いやすいものです：$ 2 $-$ text {sat} $、planar-nae-$ text {sat} $、...

$ text {np} $ -complete（または$ text {p} $）であることが証明されたすべての（奇妙な）$ text {sat} $バリアントを分類する調査論文（またはWebページ）はありますか？ ？

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1. 15パズルの$ n $ x $ n $拡張機能の最短ソリューションを見つけることは扱いにくい D. Ratner and M. Warmuth（1986）

Answer 1

古典的で有名な結果

Standa ZivnyがCSThooryの関連する質問について述べたように、 どのSATの問題が簡単ですか？, 、よく知られている結果があります 1978年のシェーファー （Zivnyの答えを引用）：

SATが任意のインスタンスで許可されている一連の関係によってパラメータ化されている場合、6つの対照性のあるケースしかありません：2-SAT（つまり、すべての句はバイナリ）、ホーンサット、デュアルホーンサット、アフィンサット（線形のソリューションの方程式 GF（2））、0-valid（All-0の割り当てによって満たされる関係）および1-valid（All-1割り当てによって満たされる関係）。

平面-3SAT の平面バージョンを意味します 3SAT $ mathcal {np} $ - 完了であることが知られています。見る D Lichtenstein、平面式とその用途、1981年. 。 3SATの非平面バージョンは、もちろん非常に有名なクラシック$ mathcal {np} $ - 完全な問題です。

まったく等しい3SAT（NAE-3SAT）は$ mathcal {np} $ - 完了です。ただし、それの平面バージョンは$ mathcal {p} $に示されています。 Moret、Planar Nae3Satは1988年にPにあります.

より最近および/または「奇妙な」バリアント

$ k $ - カラー可能な単調NAE-3SAT

これは、よりエキゾチックなまたは奇妙なバリアントです。 $ k $ - カラー可能な単調NAE-3SAT:

各句に正確に3つの異なる変数を持つ単調CNF式$ phi $が与えられたため、対応する制約グラフ$ g（ phi）$はk色です。

ここで、対応する制約グラフ$ g（ phi）$は、次のように$ phi $に関連付けられた単純な無向グラフです。$ phi $の各変数は$ g $の頂点であり、2つの頂点はそれらの間にエッジを持っています。それらはいくつかの条項に一緒に表示されます。

$ k = 4 $の場合、問題は$ mathcal {p} $です。 $ k = 5 $の場合、$ mathcal {np} $ - 完了です。見る P Jain、モノトンNAE-3SATおよび三角形のカット問題のバリアント、2010年.

線形CNFバリアント

おそらくエキゾチックでも奇妙ではありませんが、いくつかのよく知られているバリエーション、すなわち nae-sat （まったく平等ではない）と xsat （正確な土; ちょうど1つ 各句のリテラル1まで、および他のすべてのリテラルから0）、満足度の問題が調査されています。 線形 設定。線形式ペアワイズの条項には、最大1つの変数が共通しています。興味深いことに、複雑さのステータスはシェーファーの定理からは続きません。

nae-sat と xsat 残り$ mathcal {np} $ - 線形式に制限されている場合に完了します。さらに、 nae-sat と xsat まだ$ mathcal {np} $ - 正の固定整数$ k geq 3 $ごとに、少なくとも$ k $の長さの条項のみを含む式で完了します。それらは$ mathcal {np} $ - モノトーン（正のリテラルなし）線形式のために完了します。でも、 nae-sat 正確な線形式では多項式時間を決定できます。ここでは、異なる節の各ペアには、正確に1つの変数が共通しています。

の複雑さに関するいくつかのさらなる側面 nae-sat と xsat 特定の仮定の下では、おそらくまだ開いています。詳細については、たとえばを参照してください ポルシェンとシュミット、線形式をめぐるいくつかのsat-variants、2009 と Porschen et al。、Linear XSAT-Problemsの複雑さの結果、2010.