選択アルゴリズムのためのスペースにバインドされていますか？

Question

よく知られている最悪のケースがあります$ o（n）$ 選択アルゴリズム 整数の配列で$ k $ '最大の要素を見つける。それはaを使用します 中央医療者 十分なピボットを見つけるためのアプローチ、入力配列を所定の位置に分割し、$ k $ '最大の要素を検索する際に再帰的に継続します。

入力配列に触れることが許可されていない場合、$ o（n）$時間の$ k $ '最大の要素を見つけるために、どれだけの余分なスペースが必要になるか？ $ k $ '最大の要素を$ o（1）$ $ extra spaceで見つけることができますが、実行時間$ o（n）$を維持できますか？たとえば、最大要素または最小要素を見つけるには、$ o（n）$ timeと$ o（1）$スペースが必要です。

直感的には、$ o（n）$スペースよりもうまくやれると想像することはできませんが、これの証拠はありますか？

誰かが参照を指しているか、$ lfloor n/2 rfloor $ 'th要素が$ o（n）$ $ spaceを$ o（n）$ timeで見つける必要がある理由を議論することができますか？

Answer 1

入力を変更せずに$ o（n）$ timeと$ o（1）$ $ offriceメモリセルで選択を行うことができる場合、これはオープンな問題です（参照 ここ）。しかし、あなたはこれにかなり近づくことができます。

マンローとラマンは提案しました 選択のためのアルゴリズム $ o（n^{1+ varepsilon}）$の時間で実行されますが、$ o（1/ varepsilon）$ extra Storage（セル）のみを使用します。このアルゴリズムは、入力を変更せずに残します。小さな$ varepsilon> 0 $を選択できます。

そのコアでは、MunroとRamanのアルゴリズムは古典的な$ o（n）$ algorithmとして機能します： 左 と 右 バウンド（呼び出し フィルター）、既知のランクを持つ2つの要素です。要求された要素は、2つのフィルターの間に含まれています（ランクごと）。優れたピボット要素$ P $を選択することにより、フィルターに対してすべての数値と$ p $を確認できます。これにより、フィルターを更新し、チェックするために残っている要素の数を減らすことができます（ランクごと）。リクエスト要素が見つかるまで繰り返します。

古典的なアルゴリズムと違うのは、$ p $の選択です。 $ a（k）$を$ varepsilon = 1/k $の選択を解決するアルゴリズムとします。アルゴリズム$ a（k）$は、配列を同等のサイズのブロックに分割し、多くの要素があるブロックを識別します。このブロックは、アルゴリズム$ a（k-1）$の助けを借りて、良好なピボット要素を求めてスキャンされます。再帰アンカーは、些細な$ a（1）$ algorithmです。適切なブロックサイズ（および数学を行う）により、上記のように実行時間とスペースの要件が得られます。

ところで、あなたが探しているアルゴリズムは最近名前が付けられました 一定作業スペースアルゴリズム.

私は下限を知りません。