Refactored your code a bit - it now works as expected. Will second @jgitter's opinion as well.
function mySigno() {
var msg = 'Em que dia de %s nasceste? (ex.: 16)';
var month = window.prompt('Em que mês nasceste? (ex.: Julho)');
var day = window.prompt(msg.replace(/%s/, month));
day = parseInt(day, 10);
switch (month) {
case 'Janeiro':
case 'janeiro':
if (day <= 20) {
window.alert('O teu signo é Capricórnio!');
} else {
window.alert('O teu signo é Aquário!');
}
break;
case 'Fevereiro':
case 'fevereiro':
if (day <= 19) {
window.alert('O teu signo é Aquário!');
} else {
window.alert('O teu signo é Peixes!');
}
break;
case 'Março':
case 'março':
if (day <= 20) {
window.alert('O teu signo é Peixes!');
} else {
window.alert('O teu signo é Áries!');
}
break;
}
}