POSETのサブセット間の間隔を確認する

Question

POSET $（p、\ le）$ と2セット $ x \ subeteq p $ と $ y \ subseteq p $ 、そして我々は方法を持っています $ f：p ^ 2 \から2 $ $（x、y）\ in p ^ 2 $ に効率的に計算する $が存在するかどうか $（x \ lez）\ wedge（y \ le z）$ に"Math-Container"> $ \ mathbf {t} $ $（x、y）\ x \ hy $ が存在する場合その $ f（x、y）= 1 $ と $ \ mathbf {f} $ $ f $ と $ \ le $ への呼び出し数の数が少なくなります。

Answer 1

それ以上の情報がなくても、 $ o（n ^ 2）$ queries to $よりも優れていません。 f $ 。ここで、 $ n= | x | + | + | $ 。単純な敵対的な議論があります。

$ o（n ^ 2）$ クエリを使用するアルゴリズムを想像してください。 $ x、y $ で実行することを検討して、 $ f（x、y）= 0 $ すべての $ x \ in x \ in x、y \ in y $ 。アルゴリズムが正しい場合、アルゴリズムはこの入力でFを返す必要があります。アルゴリズムは $ o（n ^ 2）$ 時に実行されているので、いくつかの要素がいくつか存在している必要があります $ x_0、y_0クエリされたことがない$ 。 $ f（x_0、y_0）= 1に設定されたセットのペアでアルゴリズムを実行します。 $ が $ f（x、y）= 0 $ 他のすべてのペアの場合 $ x、y $ < /スパン>。この実行中に常に0を返す常に0を返すので、この実行は最初の実行とまったく同じパスに従う必要があります。この入力。ただし、この入力でFを返すことが正しくありません。したがって、 $ o（n ^ 2）$ 時間がかかるアルゴリズムはありません。常に正しいです。