構築DAGからの複数のトポロジカル秩序

Question

私を構築することも必要であるDAGから、それのトポロジカル秩序(すなわちグラフ $G$ 作成されないすべての秩序として与えられたそのトポロジカル秩序).簡単のための頂点が標識として初 $n$ 自然数です。(一度作成されると、グラフ $G$ 場合によりトポロジカル秩序とは別になる。)
以下の制約を満たす必要があります:

1. 最大outdegreeのすべてのノードすべき1
2. ノードの数をindegree0にする必要がある。

は、複数存在することができソリューション、のべきます。

何をしていました。(アプローチ1 は間違いとして失敗した一例与えられたと言えるのでしょうか。くださいスクロールへのアプローチは、がんを見つけることができます。)

アプローチ1
から、指定された秩序は、まず、を有向グラフを作成監督端から各ノードの次のノードです。この場合の秩序：
$$ 1, 3, 2, 5, 4, 6 $$ $$ 3, 1, 5, 2, 4, 6 $$ $$ 1, 5, 3, 2, 4, 6 $$

を作成しま向けのグラフは、監督からエッジ $1$ へ $3, 3$ へ $2, 2$ へ $5$ います。

このノード数とindegree0は最小限。現在、私はすべて削除し、サイクルだけでなく、秩序を有効とし、すべての余分のエッジノードします。なので、思いがある場合はノードを端からノードと同じノード、削除のノードから高indegree、その条件2。グラフの構築そのようになっているでしょう:

このDAGを作成し、以下の制約とIMOの最小ノード数のindegree、0がで証明します。

していま符号化のアプローチとなってい期待される成果の使用例ですの供給がたくさん取ることも間違っています。と思欠。誰でもできるので提供する代替利用の場合、失敗した上記のアプローチを考えていますか。

アプローチ2
を有向グラフ $G$ の創出により端から $a_i$ へ $a_j$ すべての $j>i$ すべての秩序にみえる。そこで、秩序:
$$ 1, 2, 3, 4, 5$$ $$ 2, 4, 1, 5, 3$$

を作成します以下のグラフ:
最初のステップの後に検証するすべての秩序.除去のサイクルが別途必要としていますので除去することにより、このステップそのものです。
他の注文 $$a_1,a_2,a_3,a_4,...a_n$$ チェックします。が存在する場合せ先端から $a_j$ へ $a_i$ 場所 $j>i$, んを取り除く。
その際、以下のようにグラフ:
最後のステップでは余分なエッジからすべてのノードとして最大outdegreeのノードです $1$ max.私を削除し送信端のノード数をindegree $0$ は最小限。最初のとして計算していますのindegreeの各ノードです。そして各ノードにして、1送信端、すべて削除しのエッジ以外の最小indegree.

最後のグラフ $G$ のような感じになります:

このグラフを満たすもの。がいこのアプローチが違います。できるものを見出すための生することは間違いだったのか？

Answer 1

アプローチ1

たとえば、次の二つの受注:1,2,3,4,5 2, 4, 1, 5, 3.

にアプローチによりサイクル1->2->3->4->1.その後、削除3->4-4->1日を取得するグラフ:

     ______
    /      \
1->2->4->5->3
 \______/

現在までに5->3および1->2それぞれに違反し、第二次受注し、削除、取得し

     ______
    /      \
1  2->4->5  3
 \______/

現在のノード2の2送信いですね。の除去にはページで見ることができます。に最後のグラフは3台のノードを(1,2、3または1,2,4）年度は0になります。

しかし、が存在するグラフ

1->3 2->4->5

があったことなどから、受注を満たすだけで2つのノードにおいて学位0になります。

でアプローチ1が間違っています。

アプローチ2

検討の最適化を行った。毎端この最適な解決策に $(a_i,a_j)$ 場所 $i 各す。このすべてのエネルギーを最小にし、その最適なソリューションに含まれる中間グラフで表示します。だしを削除し送信端なるノード数に入ったところにある、程度が0で最小限を取得しま訂正の最適化を行った。

しかし、あなたのアプローチするようにノード数を度0限が間違っています。

たとえば、次の三つのおすすめ\begin{align} 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 \\ 5, 1, 6, 3, 8, 2, 4, 7 \\ 2, 7, 3, 8, 1, 4, 5, 6 \end{align}

まず最初に取得可能な以下の中間グラフ:

    _____
   / ____\__
  / / ____\_\__
 / / /     \ \ \
1 2 3->4 5->6 7 8
 \ \__/
  \__/

応用するこアプローチ削除しております1->4,2->4-3->4(または3->8)、5つのノードと程度0:1,2,3,4(8),5.しかし、最適解する

     _______
    / ____ _\__
   / /       \ \
1 2 3 4 5->6 7 8
 \___/

が4ノードにおいて学位0:1,2,3,5.