平均検査数

Question

キー値が $$ 0,1、...、n-1です。$$ let $ p（i）（0≤i≤n-1）$ は、キーiの要素が検索される可能性です。 $ p（i） 's $ の次の分布を想定しています：

$$ p（i）= \ begin {ケース} 1/2 ^ {n-1}、＆\ text {i= 0= 0} \\ 1/2 ^ i、＆\ text {そうでなければ} \ end {ケース} $$

リニア検索が使用され、すべての検索が成功したと仮定します - 私たちが存在するすべての要素。

ランダムな検索検査検査の平均ノード数（リンクリスト内の要素はランダムな順序で格納されています）組織で、それらの減少した確率に基づいてソートされた場合のノードの平均数は何ですか（開始されます。要素 '1'、その後に要素 '2'、次に '3'など、最後のノードが要素 '0'を含む。n？

最初の部分の答えが確かに $ n / 2 $ ではありませんが、私はそうすることができます。しかし、それ以上にはもっと知りません...しかし、並べ替えのとき、私は $$ \ sum_ {i= 1} ^ {n-1} i * { 1/2 ^ {i} + n * 1/2 ^ {n-1} $$ は、最初の要素、2番目の要素に1つ、2番目のものなどに到達するために1つの比較が必要です。比較0の確率を比較すると、 $$ \ sum_ {i= o} ^ {∞} a * b ^ a= b /（1-b）^ 2 $この場合、2（B= 1/2）に等しいであろう$ は、エッジケースに取り組む方法 - '0'を手にくいです。 :(

私はまた、このスレッド」を認識しています。しかし、それぞれの数字が同じ確率を持ち、まったく同じではありません。

私はかなりの間私を悩ませてきたので、これに対する答えを見つけたいと思います、そして私はその結果について本当に興味があります。
どんなヒントも大いに感謝されます！

Answer 1

ええと、見てみましょう。問題のモデルを誤って理解した場合は指摘してください。

$ n= 5 $ 要素を持っているとします。 way $ s= [1,3,4,0,2] $ に分類されているとします。その後、リニア検索を使用して確率 $（1/2）^ 3 $ に2つのステップがあり、確率 $（1/2）^ 4 $ は私たちの検索で4つのステップを持っています。

だから、任意のソート $ s $ を与える要素を見つけるために必要なステップの平均数は何ですか？ $ x $ - 私たちの検索に必要なステップ数。 $ x= i $ の取得の可能性は、要素の検索を要求するのと同じです $ k \ in \ {0、 1,2、。、n-1 \} $ は、 $ i $ の位置にあります。つまり、 $$ p（x= i）=sum_ {k= 0} ^ {n-1} p（\ k \ | \ e要素\ k \ \ ith \ position）p（\ Element \ k \は\ Element \ K \ \ in \ is \ position）$$ で、 $ p（\要素\ k \は\ is \ is \ is \ is \ position）=frac {（n-1）！} {n！}=frac {1} {n} $ は固定位置に要素を持っています $（n-1）！$ $ n！$ のうち、他の要素の場合の可能な順列 $ n $ 要素の順列。 次に、 $ \ sum_ {k= 0} ^ {n-1} p（\ k \ | \ element \ k \ end \ in \ ate \ ate \ in \ ate \ at \ in \ ate \ ins \ ate \ element \ k \です。位置）= 1 $ 。これは、 $ p（x= i）=frac {1} {n} $ です。したがって、期待は $ \ sum_ {k= 1} ^ {n} \ frac {k} {n}= {n + 1} {2} $ 。

もちろん、2番目の部分は派生がはるかに簡単ですが、 $$ e（x | x | \ \ pracy \ pracy \ pracy）=sum_ {k= 1} ^ {n-1} \ frac {k} {2 ^ {k}} + \ frac {n} {2 ^ {n-1}} $$ （要素が<からであることに注意してください。 SPAN CLASS="math-container"> $ 1 $ $ n-class 、そして要素 $ 0ただし、 $ 0 $ は、 $ n-1と同じ確率があるため、前回の要素になる可能性があります。 $ ）だから、私たちは確率分布の期待を計算するだけですが、今回は関節確率ではなく条件付きです。