$ N $キュートパズルのための解決策を証明する

Question

$ n $ x $ n $ ボード、 $ n \ geq 5 $ 、その $ n $ は $ 2 $ < / span>または $ 3 $ 。 queens $ q_0、q_2、...、q_ {n-1} $の次の位置決めを証明するの作品、つまり2つのクイーンが互いに脅威を脅かす：

$ 0 \ leq i \ leq n-1 $ queen $ q_i $ を位置付けます。フィールド $（i、2i \ text {} \ pmod n）$ 。

ここでは使用しています（ $ x $ -coordinate、 $ y $ -coordinate） $ x $ は、水平位置と $ y $ を記述します。たとえば、上記の式では、 $ x $ は $ i $ 、 $ Y $ は $ 2i \ pmod n $ です。

私の考えは矛盾によって証明され、クイーンが互いに脅かさないように配置されているのかについてのそれぞれのケースを分解することでしたが、私は次のようなものを見ることができません。誰かが自分の考えを提供するか、正しい方向に私を指すことができますか？

Answer 1

垂直方向： $ Q_I $ と $ q_j $ の場合は、同じ $ x $ -coorytination、 $ i= j $ ですので、同じ女王です。

水平方向： $ q_i $ と $ q_j $ の場合、 $ Y $ -coorytination、 $ 2i= 2j \ PMOD n $ 、sp span class=" math-container "> $ 2i一部の $ k \ in \ mathbb {z} $ の場合は、= 2J + KN $ 。 $ n $ は2によって割り切れないので、 $ k $ がなければならない、そして $ i= j +（2k '）n $ 、spain class="math-container"> $ i= j \ pmod n $ 。 $ i $ と $ j $ の両方以来、 $ \ LE N $ 、それらは等しいです。

斜め：私たちは2つのケースを持っています。 $（0,0）\から（1,1）$ と「反ティディタゴナル」と並行して対角線を持っています。最初のケース： $ i - 2i= j - 2j \ pmod n $ 、 $ - i= j \ pmod n $ 、spain class="math-container"> $ i= j \ pmod n $ 。 2番目の場合： $ i + 2i= j + 2j \ pmod n $ の場合、 $ 3i= 3j + KN $ < / SPAN>いくつかの $ k \ in \ mathbb {z} $ 。 $ n $ 以来、 $ k $ がなければならず、 $ i= j +（3K '）n $ 、sp span class="math-container"> $ i= j \ pmod n $ 。

Answer 2

$ i を0から $ n-1 $ の間で考慮してください。もちろん、最初の座標は任意の2つのクイーンでは同じではありません。したがって、それらは同じ行にはなりません。

今、矛盾のために、それらは同じ列に横たわっているとします。その後、 $ 2（i-j）="math-class=" math-container "> $ k $ のためのnk $ 。さて、Nは除数として2を含まないので、 $ k $ であってもなければなりません。したがって、 $ k $ のどちらかは0です。これは不可能です。 $ i $ と $ J $ は等しくない、または $ k \ geq 2 $ です。後者の場合、 $ LHS= 2（ij）<2（n-1）<2n \ leq nk $ 、したがって $ lhs \nnhs $ 。したがって、我々は我々の仮定が間違っていなければならないと結論し、この方法で配置された2つのクイーンは同じ列に嘘をつくことができない。

あなたはまだ斜めのケースを把握する必要があります。

Answer 3

斜めの場合は、2つの証明に分割します - 対角線の「回転」ごとに1つ。

対角線が「左上から右上に」のときは、矛盾のために仮定します。 $ i、j $ 2つのクイーンがあります。その後、それらが同じ対角線上にあるためには、 $ i + k= $ k $ があるがある必要があります。 J $ と $ 2i \ PMOD n + k= 2j \ PMOD n $ 。したがって、 $ k= ji $ 、 $ k= 2（JI）\ PMOD N $ 。

そのため、 $ k= 2（JI）+ dn $ with $ d $ が必要です。 /スパン>。代替 $ k= ji $ を取得し、 $ ij= dn $ 、したがって $ ij= 0 \ pmod n $ 。しかし、 $ 0 \ le i、j \ le n-1 $ の両方で、 $ i= j $ そしてそれゆえ我々は矛盾があります。

対角線の他の「回転」は同じ考えを使用しています。