整数分解の複雑さ

Question

NielsenとChuangによる量子情報と量子計算では、次のように複雑さクラス np を定義します（142ページ）：

言語 $ l $ は、チューリングマシンがある場合 $ mがある場合は np です。次のプロパティを持つ$ 。

1. $ x \ in l $ の場合、 $ w $ が存在する。 span class="math-container"> $ m $ 状態 $ q_y $ （ "yes state"）の停止 $ | x | x | x | x | x | x | $ 状態 $ x $ -blankで始動したとき - $ w $ 。
$ x \ not \ nではなく、すべてのstrings $ w $ の場合証人の役割を果たしている $ | x | x | x | $ $ q_n $ （ "NO状態"） > $ m $ の場合 state $ x $ -blank- $ w $ 。

この定義は、 $ w $ を識別する因数分解問題によって動機付けられています。 > $ x $ 。

私の混乱は、 np が定義されているかに基づいて、決定決定問題を解決するための多項式時刻アルゴリズムを構築することができるようです。特定の文字列 $ x $ の場合、状態 $ m $ のファクタリングを開始します。="math-container"> $ x $ -blank- $ w $ すべての $ w で、マシンが $ q_y $ で停止したかどうかを確認してください。 $ o（| x |）$ 証人の証人、および各証人について、このアルゴリズムはこのアルゴリズムがかどうかを判断することになります。 $ x $ は多項式時刻に要因を持ちます。

明らかにこれはうまくいけませんが、私の論理の欠陥がある場所がわからない。

Answer 1

問題は、提案されたアルゴリズムが入力の数値に関して多項式であるが、入力のサイズに対する相対的ではないということです。 $ n $ のバイナリエンコードは、 $ \ lceil \ log n \ rceil $ ビットで必要です。 $ n $ の符号化をとるアルゴリズム $ \ ommega（n）$ 操作は実際にあります。指数関数そのようなアルゴリズムは疑似多項式時刻。

追加的に、あなたは因数分解と原生のテストを混乱させるようです。 $（n、x）$ $ n $ があるかどうかを確認します。因子 $ \ le x $ （あなたの提案とは、 $ n $ のみが与えられている場合を参照しながら、そしてあなたは可能な要因を見つけるためにループします。特定の数字がPrimeであるかどうかを確認している間に $ p $ にあることが知られていますが、ファクタリングはpの外側にあると考えられています。