マスター定理における規則性条件を含む証明の明確化

Question

私はCormen et al。によるアルゴリズムの紹介を行っていました。マスターの定理の3番目のケースの証明の中で次の声明に遭遇した場所。

（マスタ定理のステートメント） $ a \ geqlant 1 $ と $ b> 1 $ 定数になる、 $ f（n）$ を関数にする、 $ t（n）$ 繰り返しによって非負の整数に定義されている（再帰は、サイズ $ n $ の問題を除いて $ A $ < / SPAN>サイズの問題 $ N / B $ それぞれ、 $ f（n）$ を取ります。分割して組み合わせる）

$ t（n）= at（n / b）+ f（n）$ ;

$ n / b $ を解釈する $ \ lceil b / n \ rceil $ または $ \ lfloor b / n \ rfloor $ 。その後、 $ t（n）$ には、次の漸近的な境界があります。

$ f（n）= O（n ^ {\ log_ba - \ epsilon}）$ $¥epsilon> 0 $ 、次に $ t（n）=theta（n ^ {\ log_ba}）$ 。

1. $ f（n）=theta（n ^ {\ log_ba}）$ 、 $ t（n）=theta（n ^ {\ log_ba} \ lg n）$

2. $ f（n）=omega（n ^ {\ log_ba + \ epsilon}）$ $¥epsilon> 0 $ 、および $ af（n / b）\ reqslant cf（n）$ class="math-container"> $ c <1 $ およびすべてのsufが正当に大きいn、次に $ t（n）=theta（f（n））$ < /スパン>

$ n $ の場合 $ b $ の正確な権限として、tのドメインを制限します（n ）次のように：

$$ t（n）=theta（1）、n= 1 $$ $$ t（n）= at（n / b）+ f（n）、n= b ^ i $$

$ n $ を $ b $ $ t（n）$ の式は以下のとおりです。

$$ t（n）=theta（n ^ {\ log_ba}）+ \ sum_bn -1} ^ {\ log_bn -1} ^ ^ jf（n / B ^ j）$$

その後、著者らは次のものを想定しています、

$$ g（n）=sum_ {j= 0} ^ {\ log_bn -1} ^ jf（n / b ^ j）$$

その後、マスターの定理の3つのケースの証明のために、著者は次の補題を証明しています、

lemma 1 ： $ a \ cdot f（n / b）\ leqslant c \ cdot f（n）$ 定数 $ c <1 $ およびすべての $ n \ geqlant b $ $ g（n）=theta（f（n））$

彼らはそれを言う：

$ c <1 $ と $ n \ geqslant b $ 、 $ A \ CDOT f（n / b）\ leqslant c \ cdot f（n）\は、f（n / b）\ leqslant（C / A） ）\ CDOT F（n）$

その後反復 $ j $ 回 eimes、 $ f（n / b ^ j ）\ LeqSlant（C / A）^ j \ CDOT F（n）$

私は反復 $ j $ 時間の後ろに使用される数学を全く取得できませんでした。

さらに、 $の状況で、 $ n \ geqslant b $ の仮定の背後にあるロジックをかなり得ることができませんでしたn $ は十分に大きくなければなりません。 （マスターの定理の3番目のケースが言うように）

レンマの証明は次のように続く：

$$ f（n / b ^ j）\ leqslant（c / a）^ j \ cdot f（n）\ iff a ^ j \ cdot f（n / b ^ j）\ leqslant c ^ j \ cdot f（n）$$ そのため、 $$ g（n）=sum_ {j= 0} ^ {\ log_bn -1} ^ jf（n / b ^ j）$$ $$ \ leqslant \ sum_ {j= 0} ^ {\ log_bn -1} c ^ jf（n）$$ $$ \ leqslant f（n）\ sum_ {j= 0} ^ {\ infty} c ^ j、$$ として $ C <1 $ 私たちは無限の幾何学模様を持っています $$= f（n）\ left（\ frac {1} {1-c} \ right）$$ $$= o（f（n））$$ として $ c $ としては定数です。 （ $ t（n）=omega（f（n）

））再帰図から$ 。）

その後、 $ n $ for $ b $ <の3番目のケースを証明します。 / SPAN>：

lemma 2 ： $ a \ geqlant 1 $ と $ b> 1 $ 、 $ f（n）=omma（n ^ {\ log_ba + \ epsilon}）$ の場合 $ \ epsilon> 0 $ 、および $ af（n / b）\ reqslant cf（n）$ ="math-container"> $ c <1 $ 、そしてすべてのsufが正当に大きいn、次に $ t（n）=theta（f（n））$ 。

sa $$ t（n）=theta（n）=theta（n ^ {\ log_ba}）+ \ theta （f（n））=theta（f（n））$$ として $ f（n）=omma（n ^ {\ log_ba + \ epsilon} ）$

$ n $ "を想定していません。 > $ b $ ）この本は、 $ n \ geqlant b + b /（b-1）$ を十分に想定しています。大 $ n $ 。

私は、特定の価値が何をしなければならないか、そしてそのようなものが十分に大きい $ n $

（私はそれが最初の状況に似たものとなるように私は第2の状況の詳細を与えませんでしたが、それは見つけることができますが、それは見つけることができますが、ここ）

Answer 1

反復の問題から始めましょう。関数 $ f $ を満たすとします。 $$ f（n / b）\ leq（c / a）f（n）。 $$ それはまた満足しています $$ f（n / b ^ 2）\ LEQ（C / A）F（n / b）\ leq（c / a）^ 2 f（n）。 $$ すべてのInteger $ T \ GEQ 0 $ の誘導によって証明できます。 $$ f（n / b ^ t）\ leq（c / a）^ t f（n）。 $$

あなたの2番目の質問は、 $ n $ が十分に大きいと仮定することについて：証明はただずさんです。 $ f（n / b）\ leq（c / a）f（n）$ "すべてのを想定することはできません。 $ n \ geq b $ 。確かに、アルゴリズム、第3版の紹介で、 $ n $ は $ b $ 。

一般 $ n $ の場合の仮定などのように見えるが、彼らが本当に言っていることは、不等式 $ f（\ f（\ lceil n / b \ Rceil）\ leq（c / a）f（n）$ $ n \ ge bの意味+ B /（B-1）$ 。 $ n $ が $ b $ のパワーのパワーです。一般的なケースの証明を完了することができます。しかし、私は現時点でそのような技術的なものを無視していることを強く示唆しています。マスター定理は基本的に計算であり、あなたはそれがうまくいく著者を信頼することができます。敷物の下に興味深く隠されていない。