部分的に注文された設定を通してバイナリ - ISH検索

Question

私は興味深い機能を持っています。それは{1、...、n}のサブセットを正の整数、すなわち $ f：p（[n]）\ requearrow z ^ + $ に取ります。 SがS 'のサブセットである場合、 $ f（s）の場合、私は知っています。また、SとS 'が同じ基数を持つ場合、fによって引き起こされる順序は辞書であるので、 $ f（\ {1,2,4 \}）。 値 z を考えると、 $ f（s）<= z $ と $ f（s）<= f（t）<= z $ は $ f（s）= f（t）$ です。 - つまり、[N]のサブセットの格子上の検索をしたいです。

発注が完全に辞書であった場合は、単純なバイナリ検索を使用します。私はそれがそうではないと思います（例えば、 $ f（\ {1,2,3,4,5,6 \）$ おそらく $ f（\ {7 \}）$ より大きいです）。 POSETでこの検索を行うための良いO（N）アルゴリズムはありますか？明らかに高いサイズのNのために、私はF上でFを計算し、メモリ内の保存に頼らないでください。

議論の後の説明： 特定の $ f $ 私はAddivibital - 特に $ f（s）=sum_ {k \ $ g $ 単調に増加する関数を持つ} g（k）+ f（\ emptyset）$ 。これは一般的なケース（どちらも興味深いが私の特定の問題ではありません）よりも簡単かもしれません。

Answer 1

これは $ o（n ^ 2）$ 時間と $ o（n）で動作する単純なアルゴリズムです。 $ f（\ emptyset）$ 、 $ f（\ {1 \}）を仮定して、スペース$ スペース$ 、 $ f（\ {2 \}）$ 、 $ \ cdot $ $ f（\ {n \}）$ は配列内にあります。

開始のアイデアは彼のコメントの中でopによって与えられたものとほぼ同じです。 $ k $ ごとに、x span class="math-container"> $ 0 $ から、辞書の順番を使ってサイズkのサブセットを検索します。 $ n $ へ。 $ f $ の最良値を持つものを保持します。 "

サイズのサブセットの $ f $ の最良値を検索する方法は、span class="math-container"> $ k $ 、 $ b_k $ 、 $ o（n）$ 時間。バイナリ検索の代わりに、 $ n $ 、 $ n-1 $ 、\ cdotsかどうかを確認します。 $ 1 $ は、サブセットの辞書の順序の実際の利点を考えると、1つずつのサブセットに含める必要があります。

1. $ b_k= f（\ emptyset）$ を初期化します。 $ \ b_k $ は、この手順の最後に、sys $ k $ のサブセットの最良の値になります。 。
2. initialize $ count= 0. $ $ \ count $ は、持っている要素の数です。これまでのところ最良のサブセットに含まれています。
3. check $ f（\ {n \}）$ 。 $ b_k + f（\ {n \}）+ f（\ {1,2、\ cdots、kカウント-1 \}）\ le z $ 、 $ n $ を含める必要があります。 $ f（\ {n \}）$ f（\ {n \}）$ f（\ {n \}）$ $ b_k $ を追加し、 $ count $ 。
4. check $ f（\ {n-1 \}）$ 。 $ b_k + f（\ {n-1 \}）+ f（\ {1,2、\ cdots、k-count-1 \}）\ Le z $ 、 $ n-1 $ に含める必要があります。 $ f（\ {n-1 \}）$ f（\ {n-1 \}）$ への $ b_k $ を追加し、1を追加します。 SPAN CLASS="math-container"> $ count $ 。
5. など。
6. 私たちがチェックしたまで $ f（\ {1 \}）$ または $ count== k $ < / SPAN>。

$ o（n）$ を撮るのは疑問に思うかもしれません。 $ f（\ {1 、2、\ Cdots、K-Count-1 \}）$ 、各 $ b_k $ 単独で $ O（n * n）$ 時間。ただし、 $ f $ はandialsですので、 $ f（\ {1 \}）$のすべての接頭辞の合計を計算できます。 、 $ f（\ {2 \}）$ 、 $ \ cdot $ 、< SPAN CLASS="math-container"> $ f（\ {n \}）$ upfront in $ o（n）$ 時間。その後、 $ o（1）$ になります。

$ b_k $ を検索してから $ o（n）$ x 時間、 $ k $ から $ 0 $ $ n $ 全走行時間は $ o（n ^ 2）$ です。

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アルゴリズムの上記の説明は、 $ f（\ emptyset）\ gt z $ のときに最も簡単な場合をスキップします。その場合、アルゴリズムはそのようなサブセットがないことを返すべきです。