制約付きのカウント回路

Question

この質問が些細な場合は、答えを思い付くことができませんでした。

ブール関数があることを示すために、 $ f：\ f：\ {0,1 \} ^ n \ resplary \ {0,1 \} $ サイズの回路のみを使用する $ \ OMEGA（2 ^ n / n）$ のみ、カウント引数を使用します。 $ O（2 ^ {k \ log k}）$ sys $ k $ 、 $ 2 ^ {2 ^ n} $ そのような関数。

さまざまな関数を計算するspan class="math-container"> $ k $ のカウント回路に関心があるとします。 「シンプル」カウント引数は、2つの「構文的に」さまざまな回路が実際に同じ機能を計算することが可能である可能性があるため、機能しません。 言い換えれば、セットのサイズをバインドしたいです。 $$ f={f：\ {0,1 \} ^ n \ requaryarrow \ {0,1 \} | .. f \ text {サイズの回路を使用して計算できる} $} $

その後 $ | F | <$ サイズ $ k $ の回線数（任意の回路は1つの関数を計算するため）ですが、 $ | | F | $ 下から？ （すなわち $ X <| F | $ ）

Answer 1

サイズ $ k $ の回路で計算された関数の数をバインドするために、少なくとも2つのオプションがあります。

• サイズ $ k $ の多数を構築します。これは、構造によって異なる関数を計算します。
• サイズ $ k $ の回路での自然確率分布を考え、2つのランダム回路が同じ機能を計算する確率を推定します。

例として、 $ m $ 変数のすべての関数は、size の回路で計算できます。 $ O（2 ^ m / m）$ 。 $ f_1（x_1、\ ldots、x_m）\ lor \ cdots \ lor f_ {n / m}（x_ {n-m + 1}、\ ldots）の形式の関数を考えることによって。 、x_n）$ 、これは少なくとも $（2 ^ {2 ^ m}）^ {n / m} $ さまざまな関数を計算することを示していますサイズ $ k= O（n2 ^ m / m ^ 2）$ 。 $ k $ に関しては、関数の数は $ k \ log k $ でおおよそ呼び出しです。 $ m \ gg \ log n $ 。