ランダムな要素を持つターンベースのゲームを獲得する可能性

Question

私は確率論についてのプログラミング試験の準備をしています、そして私は解決できない質問を通してつまずいた。

バッグを与えられ、いくつかの所与の量のホワイトストーンが含まれています $ w $ といくつかの特定の量のブラックストーン $ B $ では、2人のプレーヤーがバッグからランダムに描画石を均一に描画します。 各プレイヤーのターンの後、ランダムに均一に選択された後、もう一方のプレイヤーは彼らのターンを取ることだけです。白い石が描かれている場合、それを描いたプレーヤー、即座に失われてゲームは終了します。バッグが空になったら、2番目に演奏したプレーヤーが勝ちます。

2番目のプレイヤーが勝ったプレイヤーが勝ちますか？

私はそれが動的なプログラミングの質問であると思いますが、再帰式を把握することはできません。あらゆる助けが大いに感謝されるでしょう。 ：）

例入力： $ w $ = 3、 $ b $ = 4、その答えは、私が到着した0.4、0.4が到着した後、ゲームの可能な方法で到着したので、あまり効率的ではありません。

Answer 1

$ \ pr（w、b）$ で表現しましょう。wenningのwitningの確率と $ w $ ホワイトストーンと $ b $ 残りのブラックストーンと同様に $ \ overline \を書きますP2のターンの確率はP1のターンです。

ゲームの規則から、以下のいずれかのケースがP2のターンで発生する可能性があることがわかります（十分な石が残っていると仮定して）：

1. 白が描かれ、P2が失われます。これは確率 $ w /（w + b）$ です。
2. 黒は描かれ、白い石は消えます。この確率は $ b /（w + b）\ cdot w /（w + b - 1）$ 。
3. 黒は描かれ、黒い石は消えます。これが $ b /（w + b）\ cdot（b - 1）/（w + b - 1）$ です。

   P1のターンである場合も同様の場合があります。

   1. 白が描かれ、p2が勝ちます。これは確率 $ w /（w + b）$ です。
   2. 黒は描かれ、白い石は消えます。この確率は $ b /（w + b）\ cdot w /（w + b - 1）$ 。
   3. 黒は描かれ、黒い石は消えます。これが $ b /（w + b）\ cdot（b - 1）/（w + b - 1）$ です。

      現在 $ \ pr $ と $ \ overline "> $ \ overline \ pr $ を使用することができます。そしていくつかの簡単な確率論： $$ \ begin {align *} \ PR（w、b）＆\ pr（\ text {case 1.2}）\ cdot \ overline \ pr（w - 1、b - 1）+ \ pr（\ text {case 1.3}）\ cdot \ overline \ PR（W、B - 2）、\\ \ overline \ pr（w、b）＆=pr（\ text {case 2.1}）+ \ pr（\ text {case 2.2}）\ cdot \ pr（w - 1、b - 1）+ \ pr（\テキスト{ケース2.3}）\ CDOT \ PR（W、B - 2） \ end {align *} $$ $ \ pr $ の再帰式式を見つけることができることに注意してください（ここでは簡潔にするためにここでは入力しません）。 これらを初期値と結合する $ \ pr（w、b）$ ここで、 $ w + b \ leq 4 $ （事前計算できる可能性がある）は、望ましい確率を見つけるためのアルゴリズム的方法を与えます。