2つの変数で異常な再発を解く

Question

次の再発関係を持っています：

$$ t（n、k）= t（n-1、k）+ t（n-1、k + 1）$$

次の基本ケース（一定の定数="math-contains"> $ c $ の場合）：

すべての $ x \ leq c $ 、および $ k $ ： $ t（x、k）= 1 $

すべての $ y \ geq c $ 、および $ n $ ： $ t（n、y）= 1 $

$ t（n,0）$ の式を取得したいです。 $ i $ 反復後、次の関係が得られます。

$ t（n,0）=sum_ {j= 0} ^ i {n \ chedd {j}} \ cdot t（ni、j）$

しかし、それが役立つかどうかわからない。

私の質問は $ - $ 2つの変数と特にこの再発（2番目の変数が増えている場合）では、正しいテクニックです。

Answer 1

$ c \ leq0 $ と $ c \ geq n $ あなたは $ t（n,0）= 1 $ 。

$ 0 を仮定します。それを見せてください $$ t（n、0）=sum_ {i= 0} ^ {\ color {red}}}}} \ binom {\ color {red} {k}}} {私は（N- \ Color {Red} {k}、i）$$ $ 0 \ leq k \ leq n-c $ 、 $ n \ leq 2c $ 。これは、 $ t $ の最初のエントリから差し引かれているのと同じ量を持つべきであることを除いて、質問で述べた式であるようです。 。

$ k= n-c $ に適用します。

$$ t（n、0）=sum_ {i= 0} ^ {nc}} {nc} {i} t（c、i）=sum_ {i= 0} ^ {nc} \ binom {nc} {i}= 2 ^ {nc} $$

$ n> 2c $

の場合

$$ t（n、0）=sum_ {i= 0} ^ {\ color {red} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} \ binom {\ color {red} {k {i} {i} T（N- \ color {Red} {K}、i）$$

$ k= n-c $

$$ t（n、0）=sum_ {i= 0} ^ {c} \ binom {i} {i} t（c、i）=sum_ {i= 0} ^ {c} \ binom {nc} {i} \ in（n ^ c）$$

$ c $ の多項式です。

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今回は必要ありませんでしたが、再発を扱うのに有用である可能性があるテクニックは関数の生成

Answer 2

すべてのnのt（n、c）を知っています。すべてのN、次にT（N、C-2）などのT（N、C-1）を決定しよう。