두 변수로 비정상적인 재발을 해결합니다

Question

나는 다음과 같은 재발성 관계가있다 :

$$ T (n, k)= T (n-1, k) + t (n-1, k + 1) $$ 다음의 기본 경우 (일부 주어진 상수 $ C $ ) :

모든 $ x \ leq c $ 및 $ k $ : $ T (x, k)= 1 $

모든 $ y \ geq c $ 및 $ n $ : $ T (n, y)= 1 $

$ T (n, 0) $ 에 대한 수식을 원한다. $ i $ 반복 이후 우리는 다음과 같은 관계를 얻을 수 있다는 것을 알 수 있습니다.

$ T (n, 0)=sum_ {j= 0} ^ i {n \ chest {j}} \ cdot t (ni, j) $

그러나 나는 그것이 도움이되고 그보다 더 많이 진행할 수 없는지 모른다.

내 질문은 $-$ 2 변수로 재발을 다루는 올바른 기술이며, 특히이 재발 (두 번째 변수가 증가하는 곳) ?

Answer 1

$ c \ leq0 $ 및 $ c \ geq n $ $ T (n, 0)= 1 $ .

$ 0 이라고 가정합니다. 그것을 보여줍니다 $$ t (n, 0)=sum_ {i= 0} ^ {\ color {red} {k}} \ binom {\ color {red} {k}} { i} t (n- \ color {red} {k}, i) $$ $ 0 \ LEQ K \ LEQ N-C $ 및 $ N \ LEQ 2C $ . 이는 $ T $ 의 첫 번째 항목에서 빼내는 것과 동일한 양이 뺀 값을 제외하고는 이의학 계수가 필요하다는 것을 제외 하고는이 수식이 그대로 보입니다. .

$ K= N-C $ 에 적용합니다.

$$ t (n, 0)=sum_ {i= 0} ^ {nc} \ binom {nc} {i} t (c, i)=sum_ {i= 0} ^ {nc} \ binom {nc} {i}= 2 ^ {nc} $$

$ n> 2c $ 우리가 얻는 수식은

$$ t (n, 0)=sum_ {i= 0} ^ {\ color {red} {c}} \ binom {\ color {red} {k }} {i} t (n- \ color {red} {k}, i) $$

$ k= N-C $ 우리는

$$ t (n, 0)=sum_ {i= 0} ^ {c} \ binom {nc} {i} t (c, i)=sum_ {i= 0} ^ {c} \ binom {nc} {i} \ in o (n ^ c) $$

$ C $ 의 다항식이기 때문에.

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우리는 이번에는 필요 없었지만, 재발과 함께 일하는 것이 유용 할 수있는 기술은 함수 생성 .

Answer 2

모든 n에 대해 t (n, c)를 알고 있습니다.나는 모든 n, t (n, c-2) 등을 위해 t (n, c-1)를 결정하려고 노력한다.