数値のパーティションを生成する
https://stackoverflow.com/questions/400794
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03-07-2019 - |
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正数の可能なパーティションをすべて生成するアルゴリズムが必要で、1つ（答えとして投稿）を思い付きましたが、指数関数的な時間です。
アルゴリズムは、数値がそれ以下の正の数値の合計として表現できるすべての可能な方法を返す必要があります。たとえば、 5 の場合、結果は次のようになります。
- 5
- 4 + 1
- 3 + 2
- 3 + 1 + 1
- 2 + 2 + 1
- 2 + 1 + 1 + 1
- 1 + 1 + 1 + 1 + 1
だから私の質問は次のとおりです。これにはもっと効率的なアルゴリズムがありますか？
編集：質問のタイトルは＆quot;数値の合計分解＆quot; でした。これは何と呼ばれているのかわからなかったためです。 ShreevatsaRは、「パーティション」と呼ばれることを指摘しました。質問のタイトルをそれに応じて編集しました。
解決
パーティションと呼ばれます。 [ウィキペディアも参照してください：パーティション（数値理論）。]
パーティションの数p（n）は指数関数的に増加するため、すべてパーティションを生成するために行うことは必ず指数関数的な時間を要する必要があります。
それは、あなたのコードが行うことよりもうまくやれるということです。 this 、または Pythonアルゴリズムとデータ構造 by David Eppstein 。
他のヒント
Pythonでの私のソリューション（指数時間）は次のとおりです。
q = { 1: [[1]] }
def decompose(n):
try:
return q[n]
except:
pass
result = [[n]]
for i in range(1, n):
a = n-i
R = decompose(i)
for r in R:
if r[0] <= a:
result.append([a] + r)
q[n] = result
return result
＆nbsp;
>>> decompose(5)
[[5], [4, 1], [3, 2], [3, 1, 1], [2, 2, 1], [2, 1, 1, 1], [1, 1, 1, 1, 1]]
より効率的なアルゴリズムを要求した場合、どちらを比較すべきかわかりません。しかし、ここに簡単な方法（Erlang）で書かれた1つのアルゴリズムがあります：
-module(partitions).
-export([partitions/1]).
partitions(N) -> partitions(N, N).
partitions(N, Max) when N > 0 ->
[[X | P]
|| X <- lists:seq(min(N, Max), 1, -1),
P <- partitions(N - X, X)];
partitions(0, _) -> [[]];
partitions(_, _) -> [].
時間は指数関数的です（ Can Berk G＆＃252; der'sと同じPythonのソリューション）とスタックスペースの線形。しかし、同じトリックであるメモ化を使用すると、メモリを節約して指数を減らすことで大きな改善を達成できます。 （N = 50の場合は10倍高速です）
mp(N) ->
lists:foreach(fun (X) -> put(X, undefined) end,
lists:seq(1, N)), % clean up process dictionary for sure
mp(N, N).
mp(N, Max) when N > 0 ->
case get(N) of
undefined -> R = mp(N, 1, Max, []), put(N, R), R;
[[Max | _] | _] = L -> L;
[[X | _] | _] = L ->
R = mp(N, X + 1, Max, L), put(N, R), R
end;
mp(0, _) -> [[]];
mp(_, _) -> [].
mp(_, X, Max, R) when X > Max -> R;
mp(N, X, Max, R) ->
mp(N, X + 1, Max, prepend(X, mp(N - X, X), R)).
prepend(_, [], R) -> R;
prepend(X, [H | T], R) -> prepend(X, T, [[X | H] | R]).
とにかく、言語と目的に応じてベンチマークを行う必要があります。
これを行うには、はるかに長い方法があります（これは、「パーティション」という用語を知る前に私がやったことで、Google検索が可能になりました）：
def magic_chunker (remainder, chunkSet, prevChunkSet, chunkSets):
if remainder > 0:
if prevChunkSet and (len(prevChunkSet) > len(chunkSet)): # counting down from previous
# make a chunk that is one less than relevant one in the prevChunkSet
position = len(chunkSet)
chunk = prevChunkSet[position] - 1
prevChunkSet = [] # clear prevChunkSet, no longer need to reference it
else: # begins a new countdown;
if chunkSet and (remainder > chunkSet[-1]): # no need to do iterations any greater than last chunk in this set
chunk = chunkSet[-1]
else: # i.e. remainder is less than or equal to last chunk in this set
chunk = remainder #else use the whole remainder for this chunk
chunkSet.append(chunk)
remainder -= chunk
magic_chunker(remainder, chunkSet, prevChunkSet, chunkSets)
else: #i.e. remainder==0
chunkSets.append(list(chunkSet)) #save completed partition
prevChunkSet = list(chunkSet)
if chunkSet[-1] > 1: # if the finalchunk was > 1, do further recursion
remainder = chunkSet.pop() #remove last member, and use it as remainder
magic_chunker(remainder, chunkSet, prevChunkSet, chunkSets)
else: # last chunk is 1
if chunkSet[0]==1: #the partition started with 1, we know we're finished
return chunkSets
else: #i.e. still more chunking to go
# clear back to last chunk greater than 1
while chunkSet[-1]==1:
remainder += chunkSet.pop()
remainder += chunkSet.pop()
magic_chunker(remainder, chunkSet, prevChunkSet, chunkSets)
partitions = []
magic_chunker(10, [], [], partitions)
print partitions
>> [[10], [9, 1], [8, 2], [8, 1, 1], [7, 3], [7, 2, 1], [7, 1, 1, 1], [6, 4], [6, 3, 1], [6, 2, 2], [6, 2, 1, 1], [6, 1, 1, 1, 1], [5, 5], [5, 4, 1], [5, 3, 2], [5, 3, 1, 1], [5, 2, 2, 1], [5, 2, 1, 1, 1], [5, 1, 1, 1, 1, 1], [4, 4, 2], [4, 4, 1, 1], [4, 3, 3], [4, 3, 2, 1], [4, 3, 1, 1, 1], [4, 2, 2, 2], [4, 2, 2, 1, 1], [4, 2, 1, 1, 1, 1], [4, 1, 1, 1, 1, 1, 1], [3, 3, 3, 1], [3, 3, 2, 2], [3, 3, 2, 1, 1], [3, 3, 1, 1, 1, 1], [3, 2, 2, 2, 1], [3, 2, 2, 1, 1, 1], [3, 2, 1, 1, 1, 1, 1], [3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1], [2, 2, 2, 2, 2], [2, 2, 2, 2, 1, 1], [2, 2, 2, 1, 1, 1, 1], [2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1], [2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1], [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]]
これは、Haskellで書いたパラモーフィズムの使用における解決策です。
import Numeric.Natural (Natural)
import Control.Monad (join)
import Data.List (nub)
import Data.Functor.Foldable (ListF (..), para)
partitions :: Natural -> [[Natural]]
partitions = para algebra
where algebra Nothing = []
algebra (Just (0,_)) = [[1]]
algebra (Just (_, past)) = (nub . (getAll =<<)) (fmap (1:) past)
getAll :: [Natural] -> [[Natural]]
getAll = fmap (dropWhile (==0) . sort) . subsets
where subsets xs = flip sumIndicesAt xs <<*>gt; indices xs
indices :: [Natural] -> [[Natural]]
indices = join . para algebra
where algebra Nil = []
algebra (Cons x (xs, [])) = [[x:xs]]
algebra (Cons x (xs, past)) = (:) <<*>gt; [x:xs,[]] <*> past
これは間違いなく最も効率的なものではありませんが、非常にエレガントで確かに有益だと思います。
この質問のJavaコードはこちら
static void printArray(int p[], int n){
for (int i = 0; i < n; i++)
System.out.print(p[i]+" ");
System.out.println();
}
// Function to generate all unique partitions of an integer
static void printAllUniqueParts(int n) {
int[] p = new int[n]; // An array to store a partition
int k = 0; // Index of last element in a partition
p[k] = n; // Initialize first partition as number itself
// This loop first prints current partition, then generates next
// partition. The loop stops when the current partition has all 1s
while (true) {
// print current partition
printArray(p, k + 1);
// Generate next partition
// Find the rightmost non-one value in p[]. Also, update the
// rem_val so that we know how much value can be accommodated
int rem_val = 0;
while (k >= 0 && p[k] == 1) {
rem_val += p[k];
k--;
}
// if k < 0, all the values are 1 so there are no more partitions
if (k < 0){
break;
}
// Decrease the p[k] found above and adjust the rem_val
p[k]--;
rem_val++;
while (rem_val > p[k]) {
p[k + 1] = p[k];
rem_val = rem_val - p[k];
k++;
}
p[k + 1] = rem_val;
k++;
}
}
public static void main(String[] args) {
System.out.println("All Unique Partitions of 5");
printAllUniqueParts(5);
System.out.println("All Unique Partitions of 7");
printAllUniqueParts(7);
System.out.println("All Unique Partitions of 9");
printAllUniqueParts(8);
}
別のJavaソリューション。まず、指定された数だけの最初のパーティションを作成します。その後、whileループに入り、最後に作成されたパーティションで1より大きい最後の番号を見つけます。その番号から、配列の次の番号に1を移動します。次の番号が見つかった番号と同じになる場合、次の行に移動します。ループは、最後に作成されたパーティションの最初の番号が1のときに停止します。これは、すべてのパーティションの番号が常に降順で並べ替えられるためです。
番号5の例まず、番号5の最初のパーティションを作成します。次に、最後のパーティションで1より大きい最後の番号を見つけます。最後のパーティションは配列[5、0、0、0、0]なのでインデックス0で番号5を見つけます。その後、5から1を取り、次の位置に移動します。これがパーティション[4、1、0、0、0]の取得方法です。再びループに入ります。 4から1を取り、上に移動して、[3、2、0、0、0]を取得します。次に、同じことを行い、[3、1、1、0、0]を取得します。次の反復で、[2、2、1、0、0]を取得します。 2番目の2から1つを取り、1があるインデックス2に移動しようとします。2も取得し、パーティション[2、1、2、0、0]があるため、次のインデックスにスキップします。最後のものの単なる複製です。代わりに、[2、1、1、1、0]を取得します。最後のステップでは、[1、1、1、1、1]に到達します。新しいパーティションの最初の数は1なので、ループが存在します。
private static List<int[]> getNumberPartitions(int n) {
ArrayList<int[]> result = new ArrayList<>();
int[] initial = new int[n];
initial[0] = n;
result.add(initial);
while (result.get(result.size() - 1)[0] > 1) {
int[] lastPartition = result.get(result.size() - 1);
int posOfLastNotOne = 0;
for(int k = lastPartition.length - 1; k >= 0; k--) {
if (lastPartition[k] > 1) {
posOfLastNotOne = k;
break;
}
}
int[] newPartition = new int[n];
for (int j = posOfLastNotOne + 1; j < lastPartition.length; j++) {
if (lastPartition[posOfLastNotOne] - 1 > lastPartition[j]) {
System.arraycopy(lastPartition, 0, newPartition, 0, lastPartition.length);
newPartition[posOfLastNotOne]--;
newPartition[j]++;
result.add(newPartition);
break;
}
}
}
return result;
}
Java実装。メモ化の恩恵を受けることができます。
public class Partition {
/**
* partition returns a list of int[] that represent all distinct partitions of n.
*/
public static List<int[]> partition(int n) {
List<Integer> partial = new ArrayList<Integer>();
List<int[]> partitions = new ArrayList<int[]>();
partition(n, partial, partitions);
return partitions;
}
/**
* If n=0, it copies the partial solution into the list of complete solutions.
* Else, for all values i less than or equal to n, put i in the partial solution and partition the remainder n-i.
*/
private static void partition(int n, List<Integer> partial, List<int[]> partitions) {
//System.out.println("partition " + n + ", partial solution: " + partial);
if (n == 0) {
// Complete solution is held in 'partial' --> add it to list of solutions
partitions.add(toArray(partial));
} else {
// Iterate through all numbers i less than n.
// Avoid duplicate solutions by ensuring that the partial array is always non-increasing
for (int i=n; i>0; i--) {
if (partial.isEmpty() || partial.get(partial.size()-1) >= i) {
partial.add(i);
partition(n-i, partial, partitions);
partial.remove(partial.size()-1);
}
}
}
}
/**
* Helper method: creates a new integer array and copies the contents of the list into the array.
*/
private static int[] toArray(List<Integer> list) {
int i = 0;
int[] arr = new int[list.size()];
for (int val : list) {
arr[i++] = val;
}
return arr;
}
}
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