アトキンのふるいの説明

StackOverflow https://stackoverflow.com/questions/1023768

質問

私は現在プロジェクトを行っていますが、素数を計算する効率的な方法が必要です。 エラトステネスのふるいを使用しましたが、周りを検索してみたところ、 Atkinのふるいはより効率的な方法です。この方法の説明（私が理解できた！）を見つけるのは難しいと感じました。どのように機能しますか？サンプルコード（できればCまたはpython）は素晴らしいでしょう。

編集：ご協力ありがとうございます。私がまだ理解していない唯一のことは、擬似コードでxおよびy変数が何を参照しているかです。誰かが私にこれについていくつかの光を当ててくれませんか？

役に立ちましたか？

解決

wikiページは、完全なコメント付き擬似コードを提供します。 （N.B.多くの詳細があり、wikiウェブサイトは確実にアップしているので、ここでは引用しません。）

言及した特定の言語での参照の場合：

役立つこと。

他のヒント

ウィキペディアの記事には説明があります：

  • ＆quot;このアルゴリズムは、2、3、または5で割り切れる数値を完全に無視します。モジュロ60の剰余を持つすべての数値は、2で割り切れ、素数ではありません。 3で割り切れるモジュロ60の剰余を持つすべての数値も3で割り切れ、素数ではありません。 5で割り切れる剰余60の剰余を持つすべての数値は5で割り切れ、素数ではありません。これらの残りはすべて無視されます。＆quot;

有名なものから始めましょう

primes = sieve [2..] = sieve (2:[3..])   
  -- primes are sieve of list of 2,3,4... , i.e. 2 prepended to 3,4,5...
sieve (x:xs) = x : sieve [y | y <- xs, rem y x /= 0]   -- set notation
  -- sieve of list of (x prepended to xs) is x prepended to the sieve of 
  --                  list of `y`s where y is drawn from xs and y % x /= 0

最初のいくつかのステップでどのように進むかを見てみましょう：

primes = sieve [2..] = sieve (2:[3..]) 
                     = 2 : sieve p2     -- list starting w/ 2, the rest is (sieve p2)
p2 = [y | y <- [3..], rem y 2 /= 0]     -- for y from 3 step 1: if y%2 /= 0: yield y

p2 には、 2 の倍数を含めないでください。 IOWには 2 ＆＃8212;と互いに素な数字のみが含まれます。 p2 の要素には 2 が含まれません。 p2 を見つけるために、実際には [3 ..] の各数字を 2 で除算する必要はありません（ 3 以上、 3,4,5,6,7、... ）。これは、 2 のすべての倍数を事前に列挙できるためです。

> 
rem y 2 /= 0  ===  not (ordElem y [2,4..])     -- "y is not one of 2,4,6,8,10,..."

ordElem は elem （つまり、 is-element テスト）、リスト引数が順序付けられていることを仮定するだけです。番号のリストを増やして、存在と同様に安全に非存在を検出できるようにします：

ordElem y xs = take 1 (dropWhile (< y) xs) == [y]   -- = elem y (takeWhile (<= y) xs)

通常の elem は何も想定していないため、リスト引数の各要素を検査する必要があるため、無限リストを処理できません。 ordElem はできます。それで、その後、

p2 = [y | y <- [3..], not (ordElem y [2,4..])]  -- abstract this as a function, diff a b =
   = diff      [3..]                 [2,4..]    --       = [y | y <- a, not (ordElem y b)]
   -- 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
   -- . 4 . 6 . 8 . 10  . 12  . 14  . 16  . 18  . 20  . 22  .
   = diff [3..] (map (2*)            [2..] )  --  y > 2, so [4,6..] is enough
   = diff [2*k+x | k <- [0..],  x <- [3,4]]   -- "for k from 0 step 1: for x in [3,4]:
          [2*k+x | k <- [0..],  x <- [  4]]   --                            yield (2*k+x)"
   = [     2*k+x | k <- [0..],  x <- [3  ]]   -- 2 = 1*2 = 2*1
   = [3,5..]                                  -- that's 3,5,7,9,11,...

p2 は、 2 より上のすべてのオッズの単なるリストです。まあ、私たちはそれを知っていました。次のステップはどうですか？

sieve p2 = sieve [3,5..] = sieve (3:[5,7..]) 
                         = 3 : sieve p3
p3 = [y | y <- [5,7..], rem y 3 /= 0]
   = [y | y <- [5,7..], not (ordElem y [3,6..])]           -- 3,6,9,12,...
   = diff [5,7..] [6,9..]         -- but, we've already removed the multiples of 2, (!)
   -- 5 . 7 . 9 . 11 . 13 . 15 . 17 . 19 . 21 . 23 . 25 . 27 .
   -- . 6 . . 9 . . 12  . . 15 . . 18  . . 21 . . 24  . . 27 .
   = diff [5,7..] (map (3*) [3,5..])                       -- so, [9,15..] is enough
   = diff [2*k+x | k <- [0..], x <- [5]] (map (3*)
          [2*k+x | k <- [0..], x <- [    3]] )
   = diff [6*k+x | k <- [0..], x <- [5,7,9]]               -- 6 = 2*3 = 3*2
          [6*k+x | k <- [0..], x <- [    9]] 
   = [     6*k+x | k <- [0..], x <- [5,7  ]]               -- 5,7,11,13,17,19,...

次は、

sieve p3 = sieve (5 : [6*k+x | k <- [0..], x <- [7,11]])
         = 5 : sieve p5
p5 = [y | y <-        [6*k+x | k <- [0..], x <- [7,11]], rem y 5 /= 0]
   = diff [ 6*k+x | k <- [0..], x <- [7,11]]   (map   (5*)
          [ 6*k+x | k <- [0..], x <- [                  5,       7]]) -- no mults of 2 or 3!
   = diff [30*k+x | k <- [0..], x <- [7,11,13,17,19,23,25,29,31,35]]  -- 30 = 6*5 = 5*6
          [30*k+x | k <- [0..], x <- [                 25,      35]]
   = [     30*k+x | k <- [0..], x <- [7,11,13,17,19,23,   29,31   ]]

これは、アトキンのふるいが機能しているシーケンスです。 2、3 、または 5 の倍数は存在しません。アトキンとバーンスタインは 60 を法として動作します。つまり、範囲が2倍になります。

p60 = [ 60*k+x | k <- [0..], x <- [1, 7,11,13,17,19,23,29,31, 37,41,43,47,49,53,59]]

次に、彼らはいくつかの洗練された定理を使用して、それらの各数値のいくつかの特性を把握し、それぞれを適切に処理します。全体が 60 の周期で繰り返されます（「ホイール」）。

  • ＆quot;モジュロ60剰余1、13、17、29、37、41、49、または53（...）のすべての数値nは、 4x ^ 2 + y ^ 2 = n は奇数で、数は平方なしです。＆quot;

それはどういう意味ですか？その方程式の解の数がそのような数に対して奇数であることがわかっている場合、それは素数です。 if それは平方なしです。つまり、繰り返される要素はありません（ 49、121などなど）。

アトキンとバーンスタインはこれを使用して、全体的な操作の数を減らします。各素数（ 7 以降）について、その平方であるため、エラトステネスのふるいよりもはるかに離れているため、特定の範囲に含まれる数は少なくなります。

残りのルールは次のとおりです。

  • ＆quot;モジュロ60剰余7、19、31、または43（...）のすべての数値nは、 3x ^ 2 +の解の数がy ^ 2 = n は奇数で、数は平方なしです。＆quot;

  • ＆quot;モジュロ60剰余11、23、47、または59（...）のすべての数値nは、 3x ^ 2＆の解の数が＃8722; y ^ 2 = n は奇数で、数は平方なしです。＆quot;

これは、 p60 の定義にある16個のコア番号すべてを処理します。

また参照：どのアルゴリズムが最も速いか素数を見つける？

N

  

編集：私がまだ理解していない唯一のことは、xおよびy変数が擬似コードで何を参照しているかです。誰かが私にこれについていくつかの光を当ててくれませんか？

Wikipediaページの擬似コード（またはアトキンのその他のより良い実装）での 'x'および 'y'変数の一般的な使用の基本的な説明については、別の関連する質問への回答が役立ちます。

これがあなたを助けるかもしれないアトキンスのふるいのC ++実装です... 

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <fstream>
#include<stdio.h>
#include<conio.h>
using namespace std;

#define  limit  1000000

int root = (int)ceil(sqrt(limit));
bool sieve[limit];
int primes[(limit/2)+1];

int main (int argc, char* argv[])
{
   //Create the various different variables required
   FILE *fp=fopen("primes.txt","w");
   int insert = 2;
   primes[0] = 2;
   primes[1] = 3;
   for (int z = 0; z < limit; z++) sieve[z] = false; //Not all compilers have false as the       default boolean value
   for (int x = 1; x <= root; x++)
   {
        for (int y = 1; y <= root; y++)
        {
             //Main part of Sieve of Atkin
             int n = (4*x*x)+(y*y);
             if (n <= limit && (n % 12 == 1 || n % 12 == 5)) sieve[n] ^= true;
             n = (3*x*x)+(y*y);
             if (n <= limit && n % 12 == 7) sieve[n] ^= true;
             n = (3*x*x)-(y*y);
             if (x > y && n <= limit && n % 12 == 11) sieve[n] ^= true;
        }
   }
        //Mark all multiples of squares as non-prime
   for (int r = 5; r <= root; r++) if (sieve[r]) for (int i = r*r; i < limit; i += r*r) sieve[i] = false;
   //Add into prime array
   for (int a = 5; a < limit; a++)
   {
            if (sieve[a])
            {
                  primes[insert] = a;
                  insert++;
            }
   }
   //The following code just writes the array to a file
   for(int i=0;i<1000;i++){
             fprintf(fp,"%d",primes[i]);
             fprintf(fp,", ");
   }

   return 0;
 }

// Title : Seive of Atkin ( Prime number Generator) 

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <vector>

using namespace std;

int main()
{
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    long long int n;
    cout<<"Enter the value of n : ";
    cin>>n;
    vector<bool> is_prime(n+1);
    for(long long int i = 5; i <= n; i++)
    {
        is_prime[i] = false;
    }
    long long int lim = ceil(sqrt(n));

    for(long long int x = 1; x <= lim; x++)
    {
        for(long long int y = 1; y <= lim; y++)
        {
            long long int num = (4*x*x+y*y);
            if(num <= n && (num % 12 == 1 || num%12 == 5))
            {
                is_prime[num] = true;
            }

            num = (3*x*x + y*y);
            if(num <= n && (num % 12 == 7))
            {
                is_prime[num] = true;
            }

            if(x > y)
            {
                num = (3*x*x - y*y);
                if(num <= n && (num % 12 == 11))
                {
                    is_prime[num] = true;
                }
            }
        }
    }
    // Eliminating the composite by seiveing
    for(long long int i = 5; i <= lim; i++)
    {
        if(is_prime[i])
            for(long long int j = i*i; j <= n; j += i)
            {
                is_prime[j] = false;
            }
    }
    // Here we will start printing of prime number
   if(n > 2)
   {
       cout<<"2\t"<<"3\t";
   }
   for(long long int i = 5; i <= n; i++)
   {
         if(is_prime[i])
         {
             cout<<i<<"\t";
         }
    }
    cout<<"\n";
    return 0;
}
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