3Dモートン数の計算方法（3 intのビットをインターリーブ）
https://stackoverflow.com/questions/1024754
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06-07-2019 - |
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3Dモートン数を計算する高速な方法を探しています。 このサイトには、マジックナンバーベースのトリックがあります2Dモートンの数字ですが、3Dに拡張する方法は明らかではないようです。
したがって、基本的には、3つの10ビット数があり、最小数の操作で単一の30ビット数にインターリーブしたいのです。
解決
同じ手法を使用できます。変数には 0 に設定された最高22ビットの32ビット整数が含まれていると仮定しています（これは必要以上に制限が厳しい）。 3つの10ビット整数の1つを含む各変数 x に対して、次のことを行います。
x = (x | (x << 16)) & 0x030000FF;
x = (x | (x << 8)) & 0x0300F00F;
x = (x | (x << 4)) & 0x030C30C3;
x = (x | (x << 2)) & 0x09249249;
次に、 x 、 y 、および z を使用して、操作された3つの10ビット整数を取得すると、結果を取得できます。
x | (y << 1) | (z << 2)
この手法の仕組みは次のとおりです。 ＆quot; splits＆quot;の上の x = ... 行のそれぞれ他の整数のビットのために間に十分なスペースがあるように半分のビットのグループ。たとえば、3つの4ビット整数を考慮する場合、ビット1234の1つを000012000034に分割し、ゼロは他の整数用に予約されています。次のステップでは、12と34を同じ方法で分割して001002003004を取得します。10ビットでは2つのグループに分割することはできませんが、最後に最高のものを失う16ビットと考えることができます。 。
最初の行からわかるように、実際には、入力整数 x ごとに x＆amp; 0x03000000 == 0 。
他のヒント
Pythonスクリプトを使用した私のソリューションは次のとおりです。
彼のコメントからヒントを得ました： Fabian＆＃8220 ; ryg＆＃8221;ギーゼン
以下の長いコメントを読んでください！どのビットがどこまで行く必要があるかを追跡する必要があります！
次に、各ステップでこれらのビットを選択して移動し、ビットマスク（コメントの最後の行を参照）を適用してマスクします！
Bit Distances: [0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18]
Bit Distances (binary): ['0', '10', '100', '110', '1000', '1010', '1100', '1110', '10000', '10010']
Shifting bits by 1 for bits idx: []
Shifting bits by 2 for bits idx: [1, 3, 5, 7, 9]
Shifting bits by 4 for bits idx: [2, 3, 6, 7]
Shifting bits by 8 for bits idx: [4, 5, 6, 7]
Shifting bits by 16 for bits idx: [8, 9]
BitPositions: [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
Shifted bef.: 0000 0000 0000 0000 0000 0011 0000 0000 hex: 0x300
Shifted: 0000 0011 0000 0000 0000 0000 0000 0000 hex: 0x3000000
NonShifted: 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1111 1111 hex: 0xff
Bitmask is now: 0000 0011 0000 0000 0000 0000 1111 1111 hex: 0x30000ff
Shifted bef.: 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1111 0000 hex: 0xf0
Shifted: 0000 0000 0000 0000 1111 0000 0000 0000 hex: 0xf000
NonShifted: 0000 0011 0000 0000 0000 0000 0000 1111 hex: 0x300000f
Bitmask is now: 0000 0011 0000 0000 1111 0000 0000 1111 hex: 0x300f00f
Shifted bef.: 0000 0000 0000 0000 1100 0000 0000 1100 hex: 0xc00c
Shifted: 0000 0000 0000 1100 0000 0000 1100 0000 hex: 0xc00c0
NonShifted: 0000 0011 0000 0000 0011 0000 0000 0011 hex: 0x3003003
Bitmask is now: 0000 0011 0000 1100 0011 0000 1100 0011 hex: 0x30c30c3
Shifted bef.: 0000 0010 0000 1000 0010 0000 1000 0010 hex: 0x2082082
Shifted: 0000 1000 0010 0000 1000 0010 0000 1000 hex: 0x8208208
NonShifted: 0000 0001 0000 0100 0001 0000 0100 0001 hex: 0x1041041
Bitmask is now: 0000 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 hex: 0x9249249
x &= 0x3ff
x = (x | x << 16) & 0x30000ff <<< THIS IS THE MASK for shifting 16 (for bit 8 and 9)
x = (x | x << 8) & 0x300f00f
x = (x | x << 4) & 0x30c30c3
x = (x | x << 2) & 0x9249249
したがって、10ビットの数値と2つのインターリーブビット（32ビットの場合）の場合、次のことを行う必要があります！：
x &= 0x3ff
x = (x | x << 16) & 0x30000ff #<<< THIS IS THE MASK for shifting 16 (for bit 8 and 9)
x = (x | x << 8) & 0x300f00f
x = (x | x << 4) & 0x30c30c3
x = (x | x << 2) & 0x9249249
また、21ビットの数値と2つのインターリーブビット（64ビットの場合）の場合、次のことを行う必要があります！：
x &= 0x1fffff
x = (x | x << 32) & 0x1f00000000ffff
x = (x | x << 16) & 0x1f0000ff0000ff
x = (x | x << 8) & 0x100f00f00f00f00f
x = (x | x << 4) & 0x10c30c30c30c30c3
x = (x | x << 2) & 0x1249249249249249
x &= 0x3ffffffffff
x = (x | x << 64) & 0x3ff0000000000000000ffffffffL
x = (x | x << 32) & 0x3ff00000000ffff00000000ffffL
x = (x | x << 16) & 0x30000ff0000ff0000ff0000ff0000ffL
x = (x | x << 8) & 0x300f00f00f00f00f00f00f00f00f00fL
x = (x | x << 4) & 0x30c30c30c30c30c30c30c30c30c30c3L
x = (x | x << 2) & 0x9249249249249249249249249249249L
インターリーブパターンを生成および確認するPythonスクリプト!!!
def prettyBinString(x,d=32,steps=4,sep=".",emptyChar="0"):
b = bin(x)[2:]
zeros = d - len(b)
if zeros <= 0:
zeros = 0
k = steps - (len(b) % steps)
else:
k = steps - (d % steps)
s = ""
#print("zeros" , zeros)
#print("k" , k)
for i in range(zeros):
#print("k:",k)
if(k%steps==0 and i!= 0):
s+=sep
s += emptyChar
k+=1
for i in range(len(b)):
if( (k%steps==0 and i!=0 and zeros == 0) or (k%steps==0 and zeros != 0) ):
s+=sep
s += b[i]
k+=1
return s
def binStr(x): return prettyBinString(x,32,4," ","0")
def computeBitMaskPatternAndCode(numberOfBits, numberOfEmptyBits):
bitDistances=[ i*numberOfEmptyBits for i in range(numberOfBits) ]
print("Bit Distances: " + str(bitDistances))
bitDistancesB = [bin(dist)[2:] for dist in bitDistances]
print("Bit Distances (binary): " + str(bitDistancesB))
moveBits=[] #Liste mit allen Bits welche aufsteigend um 2, 4,8,16,32,64,128 stellen geschoben werden müssen
maxLength = len(max(bitDistancesB, key=len))
abort = False
for i in range(maxLength):
moveBits.append([])
for idx,bits in enumerate(bitDistancesB):
if not len(bits) - 1 < i:
if(bits[len(bits)-i-1] == "1"):
moveBits[i].append(idx)
for i in range(len(moveBits)):
print("Shifting bits by " + str(2**i) + "\t for bits idx: " + str(moveBits[i]))
bitPositions = range(numberOfBits);
print("BitPositions: " + str(bitPositions))
maskOld = (1 << numberOfBits) -1
codeString = "x &= " + hex(maskOld) + "\n"
for idx in xrange(len(moveBits)-1, -1, -1):
if len(moveBits[idx]):
shifted = 0
for bitIdxToMove in moveBits[idx]:
shifted |= 1<<bitPositions[bitIdxToMove];
bitPositions[bitIdxToMove] += 2**idx; # keep track where the actual bit stands! might get moved several times
# Get the non shifted part!
nonshifted = ~shifted & maskOld
print("Shifted bef.:\t" + binStr(shifted) + " hex: " + hex(shifted))
shifted = shifted << 2**idx
print("Shifted:\t" + binStr(shifted)+ " hex: " + hex(shifted))
print("NonShifted:\t" + binStr(nonshifted) + " hex: " + hex(nonshifted))
maskNew = shifted | nonshifted
print("Bitmask is now:\t" + binStr(maskNew) + " hex: " + hex(maskNew) +"\n")
#print("Code: " + "x = x | x << " +str(2**idx)+ " & " +hex(maskNew))
codeString += "x = (x | x << " +str(2**idx)+ ") & " +hex(maskNew) + "\n"
maskOld = maskNew
return codeString
numberOfBits = 10;
numberOfEmptyBits = 2;
codeString = computeBitMaskPatternAndCode(numberOfBits,numberOfEmptyBits);
print(codeString)
def partitionBy2(x):
exec(codeString)
return x
def checkPartition(x):
print("Check partition for: \t" + binStr(x))
part = partitionBy2(x);
print("Partition is : \t\t" + binStr(part))
#make the pattern manualy
partC = long(0);
for bitIdx in range(numberOfBits):
partC = partC | (x & (1<<bitIdx)) << numberOfEmptyBits*bitIdx
print("Partition check is :\t" + binStr(partC))
if(partC == part):
return True
else:
return False
checkError = False
for i in range(20):
x = random.getrandbits(numberOfBits);
if(checkPartition(x) == False):
checkError = True
break
if not checkError:
print("CHECK PARTITION SUCCESSFUL!!!!!!!!!!!!!!!!...")
else:
print("checkPartition has ERROR!!!!")
しばらくしてデコードコードも追加します！
4Kの空き容量がある場合、おそらく最も簡単なのはルックアップテーブルです：
static uint32_t t [ 1024 ] = { 0, 0x1, 0x8, ... };
uint32_t m ( int a, int b, int c )
{
return t[a] | ( t[b] << 1 ) | ( t[c] << 2 );
}
ビットハックはシフトとマスクを使用してビットを広げるので、値をシフトするたびにビットの一部を空のスペースにコピーし、元のビットのみが残るように組み合わせをマスクします。
例：
x = 0xabcd;
= 0000_0000_0000_0000_1010_1011_1100_1101
x = (x | (x << S[3])) & B[3];
= ( 0x00abcd00 | 0x0000abcd ) & 0xff00ff
= 0x00ab__cd & 0xff00ff
= 0x00ab00cd
= 0000_0000_1010_1011_0000_0000_1100_1101
x = (x | (x << S[2])) & B[2];
= ( 0x0ab00cd0 | 0x00ab00cd) & 0x0f0f0f0f
= 0x0a_b_c_d & 0x0f0f0f0f
= 0x0a0b0c0d
= 0000_1010_0000_1011_0000_1100_0000_1101
x = (x | (x << S[1])) & B[1];
= ( 0000_1010_0000_1011_0000_1100_0000_1101 |
0010_1000_0010_1100_0011_0000_0011_0100 ) &
0011_0011_0011_0011_0011_0011_0011_0011
= 0010_0010_0010_0011_0011_0000_0011_0001
x = (x | (x << S[0])) & B[0];
= ( 0010_0010_0010_0011_0011_0000_0011_0001 |
0100_0100_0100_0110_0110_0000_0110_0010 ) &
0101_0101_0101_0101_0101_0101_0101_0101
= 0100_0010_0100_0101_0101_0000_0101_0001
各反復で、各ブロックは2つに分割され、ブロックの左半分の右端のビットが最終位置に移動し、必要なビットのみが残るようにマスクが適用されます。
入力の間隔を空けたら、一方の値がもう一方のゼロになるようにシフトします。
最終結果の値の間の2ビット以上にそのテクニックを拡張するには、ビットが終わる場所の間のシフトを増やす必要があります。開始ブロックサイズが2の累乗ではないため、少し複雑になります。そのため、中央または2の累乗の境界で分割できます。
したがって、このような進化はうまくいくかもしれません：
0000_0000_0000_0000_0000_0011_1111_1111
0000_0011_0000_0000_0000_0000_1111_1111
0000_0011_0000_0000_1111_0000_0000_1111
0000_0011_0000_1100_0011_0000_1100_0011
0000_1001_0010_0100_1001_0010_0100_1001
// 0000_0000_0000_0000_0000_0011_1111_1111
x = ( x | ( x << 16 ) ) & 0x030000ff;
// 0000_0011_0000_0000_0000_0000_1111_1111
x = ( x | ( x << 8 ) ) & 0x0300f00f;
// 0000_0011_0000_0000_1111_0000_0000_1111
x = ( x | ( x << 4 ) ) & 0x030c30c3;
// 0000_0011_0000_1100_0011_0000_1100_0011
x = ( x | ( x << 2 ) ) & 0x09249249;
// 0000_1001_0010_0100_1001_0010_0100_1001
入力に対して同じ変換を実行し、1つずつシフトし、2ずつシフトするか、一緒にシフトして完了です。
良いタイミング、先月やったばかりです！
重要なのは、2つの機能を作成することでした。ビットを3ビットごとに広げます。 次に、3つを組み合わせて（最後の2つをシフト）、最終的なモートンインターリーブ値を取得できます。
このコードは、HIGHビット（固定小数点値の場合はより論理的です）からインターリーブします。アプリケーションがコンポーネントごとに10ビットしかない場合、各ビットを高ビットから開始するために22ずつシフトします。
/* Takes a value and "spreads" the HIGH bits to lower slots to seperate them.
ie, bit 31 stays at bit 31, bit 30 goes to bit 28, bit 29 goes to bit 25, etc.
Anything below bit 21 just disappears. Useful for interleaving values
for Morton codes. */
inline unsigned long spread3(unsigned long x)
{
x=(0xF0000000&x) | ((0x0F000000&x)>>8) | (x>>16); // spread top 3 nibbles
x=(0xC00C00C0&x) | ((0x30030030&x)>>4);
x=(0x82082082&x) | ((0x41041041&x)>>2);
return x;
}
inline unsigned long morton(unsigned long x, unsigned long y, unsigned long z)
{
return spread3(x) | (spread3(y)>>1) | (spread3(z)>>2);
}
次のコードは、3つの10ビット入力数のモートン数を見つけます。リンクのideeを使用し、ステップ5-5、3-2-3-2、2-1-1-1-2-1-1-1、1-1-1-でビット拡散を実行します。 10は2の累乗ではないため、1-1-1-1-1-1-1。
......................9876543210
............98765..........43210
........987....56......432....10
......98..7..5..6....43..2..1..0
....9..8..7..5..6..4..3..2..1..0
上記では、4つのステップのすべての前と後のすべてのビットの位置を確認できます。
public static Int32 GetMortonNumber(Int32 x, Int32 y, Int32 z)
{
return SpreadBits(x, 0) | SpreadBits(y, 1) | SpreadBits(z, 2);
}
public static Int32 SpreadBits(Int32 x, Int32 offset)
{
if ((x < 0) || (x > 1023))
{
throw new ArgumentOutOfRangeException();
}
if ((offset < 0) || (offset > 2))
{
throw new ArgumentOutOfRangeException();
}
x = (x | (x << 10)) & 0x000F801F;
x = (x | (x << 4)) & 0x00E181C3;
x = (x | (x << 2)) & 0x03248649;
x = (x | (x << 2)) & 0x09249249;
return x << offset;
}
上記を取り、3つの16ビット数を48（実際には64）ビット数に結合するように修正しました。おそらくそれは誰かがそこに着くために少し考えを保存するでしょう。
#include <inttypes.h>
#include <assert.h>
uint64_t zorder3d(uint64_t x, uint64_t y, uint64_t z){
static const uint64_t B[] = {0x00000000FF0000FF, 0x000000F00F00F00F,
0x00000C30C30C30C3, 0X0000249249249249};
static const int S[] = {16, 8, 4, 2};
static const uint64_t MAXINPUT = 65536;
assert( ( (x < MAXINPUT) ) &&
( (y < MAXINPUT) ) &&
( (z < MAXINPUT) )
);
x = (x | (x << S[0])) & B[0];
x = (x | (x << S[1])) & B[1];
x = (x | (x << S[2])) & B[2];
x = (x | (x << S[3])) & B[3];
y = (y | (y << S[0])) & B[0];
y = (y | (y << S[1])) & B[1];
y = (y | (y << S[2])) & B[2];
y = (y | (y << S[3])) & B[3];
z = (z | (z << S[0])) & B[0];
z = (z | (z << S[1])) & B[1];
z = (z | (z << S[2])) & B[2];
z = (z | (z << S[3])) & B[3];
return ( x | (y << 1) | (z << 2) );
}
次は、3-Dポイントに対してサイズ64ビットのモートンキーを生成するコードスニペットです。
using namespace std;
unsigned long long spreadBits(unsigned long long x)
{
x=(x|(x<<20))&0x000001FFC00003FF;
x=(x|(x<<10))&0x0007E007C00F801F;
x=(x|(x<<4))&0x00786070C0E181C3;
x=(x|(x<<2))&0x0199219243248649;
x=(x|(x<<2))&0x0649249249249249;
x=(x|(x<<2))&0x1249249249249249;
return x;
}
int main()
{
unsigned long long x,y,z,con=1;
con=con<<63;
printf("%#llx\n",(spreadBits(x)|(spreadBits(y)<<1)|(spreadBits(z)<<2))|con);
}
今日、同様の問題が発生しましたが、3つの数字の代わりに、任意のビット長の任意の数の数字を組み合わせる必要があります。独自の種類のビット拡散およびマスキングアルゴリズムを採用し、C＃BigIntegerに適用しました。これが私が書いたコードです。コンパイル手順として、指定された次元数とビット深度のマジックナンバーとマスクを計算します。その後、オブジェクトを複数の変換に再利用できます。
/// <summary>
/// Convert an array of integers into a Morton code by interleaving the bits.
/// Create one Morton object for a given pair of Dimension and BitDepth and reuse if when encoding multiple
/// Morton numbers.
/// </summary>
public class Morton
{
/// <summary>
/// Number of bits to use to represent each number being interleaved.
/// </summary>
public int BitDepth { get; private set; }
/// <summary>
/// Count of separate numbers to interleave into a Morton number.
/// </summary>
public int Dimensions { get; private set; }
/// <summary>
/// The MagicNumbers spread the bits out to the right position.
/// Each must must be applied and masked, because the bits would overlap if we only used one magic number.
/// </summary>
public BigInteger LargeMagicNumber { get; private set; }
public BigInteger SmallMagicNumber { get; private set; }
/// <summary>
/// The mask removes extraneous bits that were spread into positions needed by the other dimensions.
/// </summary>
public BigInteger Mask { get; private set; }
public Morton(int dimensions, int bitDepth)
{
BitDepth = bitDepth;
Dimensions = dimensions;
BigInteger magicNumberUnit = new BigInteger(1UL << (int)(Dimensions - 1));
LargeMagicNumber = magicNumberUnit;
BigInteger maskUnit = new BigInteger(1UL << (int)(Dimensions - 1));
Mask = maskUnit;
for (var i = 0; i < bitDepth - 1; i++)
{
LargeMagicNumber = (LargeMagicNumber << (Dimensions - 1)) | (i % 2 == 1 ? magicNumberUnit : BigInteger.Zero);
Mask = (Mask << Dimensions) | maskUnit;
}
SmallMagicNumber = (LargeMagicNumber >> BitDepth) << 1; // Need to trim off pesky ones place bit.
}
/// <summary>
/// Interleave the bits from several integers into a single BigInteger.
/// The high-order bit from the first number becomes the high-order bit of the Morton number.
/// The high-order bit of the second number becomes the second highest-ordered bit in the Morton number.
///
/// How it works.
///
/// When you multupliy by the magic numbers you make multiple copies of the the number they are multplying,
/// each shifted by a different amount.
/// As it turns out, the high order bit of the highest order copy of a number is N bits to the left of the
/// second bit of the second copy, and so forth.
/// This is because each copy is shifted one bit less than N times the copy number.
/// After that, you apply the AND-mask to unset all bits that are not in position.
///
/// Two magic numbers are needed because since each copy is shifted one less than the bitDepth, consecutive
/// copies would overlap and ruin the algorithm. Thus one magic number (LargeMagicNumber) handles copies 1, 3, 5, etc, while the
/// second (SmallMagicNumber) handles copies 2, 4, 6, etc.
/// </summary>
/// <param name="vector">Integers to combine.</param>
/// <returns>A Morton number composed of Dimensions * BitDepth bits.</returns>
public BigInteger Interleave(int[] vector)
{
if (vector == null || vector.Length != Dimensions)
throw new ArgumentException("Interleave expects an array of length " + Dimensions, "vector");
var morton = BigInteger.Zero;
for (var i = 0; i < Dimensions; i++)
{
morton |= (((LargeMagicNumber * vector[i]) & Mask) | ((SmallMagicNumber * vector[i]) & Mask)) >> i;
}
return morton;
}
public override string ToString()
{
return "Morton(Dimension: " + Dimensions + ", BitDepth: " + BitDepth
+ ", MagicNumbers: " + Convert.ToString((long)LargeMagicNumber, 2) + ", " + Convert.ToString((long)SmallMagicNumber, 2)
+ ", Mask: " + Convert.ToString((long)Mask, 2) + ")";
}
}
これは、任意の長さのエンコーディングメソッドを作成するためにRubyで作成したジェネレータです。
def morton_code_for(bits)
method = ''
limit_mask = (1 << (bits * 3)) - 1
split = (2 ** ((Math.log(bits) / Math.log(2)).to_i + 1)).to_i
level = 1
puts "// Coding for 3 #{bits}-bit values"
loop do
shift = split
split /= 2
level *= 2
mask = ([ '1' * split ] * level).join('0' * split * 2).to_i(2) & limit_mask
expression = "v = (v | (v << %2d)) & 0x%016x;" % [ shift, mask ]
method << expression
puts "%s // 0b%064b" % [ expression, mask ]
break if (split <= 1)
end
puts
print "// Test of method results: "
v = (1 << bits) - 1
puts eval(method).to_s(2)
end
morton_code_for(21)
出力は適切に汎用的であり、必要に応じて調整できます。サンプル出力：
// Coding for 3 21-bit values
v = (v | (v << 32)) & 0x7fff00000000ffff; // 0b0111111111111111000000000000000000000000000000001111111111111111
v = (v | (v << 16)) & 0x00ff0000ff0000ff; // 0b0000000011111111000000000000000011111111000000000000000011111111
v = (v | (v << 8)) & 0x700f00f00f00f00f; // 0b0111000000001111000000001111000000001111000000001111000000001111
v = (v | (v << 4)) & 0x30c30c30c30c30c3; // 0b0011000011000011000011000011000011000011000011000011000011000011
v = (v | (v << 2)) & 0x1249249249249249; // 0b0001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001
// Test of method results: 1001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001
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