모든 하스켈 펑터는 엔도펑터인가요?

Question

나는 약간 혼란스러워서 나를 바로잡아 줄 사람이 필요합니다.나의 현재 이해를 간략하게 설명하겠습니다.

어디 E 엔도펑터이고, A 일부 카테고리는 다음과 같습니다.

E : A -> A.

Haskell의 모든 유형과 형태는 Hask 카테고리가 없습니다. 펑터 하스켈에서도 엔도펑터? F : Hask -> Hask.

나는 내가 틀렸다는 좋은 느낌을 갖고 있으며, 어떻게든 이것을 지나치게 단순화하고 있으며, 누군가 내가 얼마나 바보인지 말해주길 바랍니다.감사해요.

Answer 1

"Haskell의 펑터"에 대해 묻는 것인지 명확히 하고 싶을 수도 있습니다. Functor에스.Haskell에서 범주 이론 용어가 사용될 때 어떤 범주가 가정되는지가 항상 명확하지는 않습니다.

하지만 그렇습니다. 기본 가정은 다음과 같습니다. 하스크, 이는 형태로서의 기능을 가진 Haskell 유형의 범주로 간주됩니다.이 경우 엔도펑터 F는 다음과 같습니다. 하스크 A 유형을 F(A) 유형으로 매핑하고 모든 함수를 매핑합니다. 에프 두 가지 유형 A와 B 사이에서 함수 F(에프) 일부 유형 F(A)와 F(B) 사이.

그런 다음 모든 유형을 매핑하는 엔도펑터로만 제한하면 a 유형에 (f a) 어디 f 종류가 있는 유형 생성자입니다. * -> *, 그러면 함수에 대한 관련 맵을 유형이 있는 고차 함수로 설명할 수 있습니다. (a -> b) -> (f a -> f b), 물론 이는 다음과 같은 유형 클래스입니다. Functor.

그러나 잘 동작하는 엔도펑터를 쉽게 상상할 수 있습니다. 하스크 의 인스턴스로 (직접) 쓸 수 없습니다. Functor, 유형을 매핑하는 펑터와 같은 a 에게 Either a t.그리고 확실히 펑터에는 그다지 의미가 없지만 하스크 완전히 다른 카테고리에 대해서는 (반공변) 펑터를 고려하는 것이 합리적입니다. 하스크 에게 하스크^작전.

그 외에도 다음과 같은 사례가 있습니다. Functor 반드시 전체 카테고리에서 매핑해야 합니다. 하스크 따라서 카테고리를 형성하는 일부 하위 집합에 대해서도 설명합니다.하지만 펑터에 관해 이야기하는 것도 합리적입니다. ~ 사이 하위 집합 하스크.예를 들어, 유형을 보내는 펑터를 생각해 보세요. Maybe a 에게 [a].

당신은 category-extras 패키지, 는 범주 이론에서 영감을 받은 일부 구조를 포함합니다. 하스크 대신 전체를 가정합니다.

Answer 2

궁극적으로 Hask를 조작하더라도 Hask에서 구축 할 수있는 많은 다른 범주가 있습니다. 이는 문제가 해결할 수 있습니다.

• Hask ^ op, 모든 화살표가 반전 된 모든 화살표가있는 Hask입니다
• Hask * Hask, 펑터가 bifunctors
• 쉼표 카테고리, 즉. 물체는 고정 된 객체에 대한 형태입니다. a, Morphisms는 전환 삼각형
• Functor 카테고리, 모프즘은 자연 변환
• 대수 카테고리
• 모노이탈 카테고리
• Kleisli 카테고리
• ...

작업 수학자 에 대한 Mac Lane의 카테고리의 사본을 구입하여 Haskell에서 해결하는 문제에 따라 자신을 찾으려고 노력하십시오. 특히 adjoint functors (오른쪽 카테고리의 초기 / 터미널 객체)와 Monads와의 관계를 초크합니다.

하나의 큰 카테고리 (Hask 또는 오른쪽 화살표 / 제품 / 제품 / ... "로 Hask에서 객체를 해제 한 것, 비 엄격함과 같은 haskell의 언어 선택을 캡슐화하는 것과 같은 것으로 보입니다. 게으름), 적절한 파생 카테고리는 표현력이 있습니다.

Answer 3

A possibly relevant (or at least interesting) discussion specifically regarding monads is found in the paper "Monads need not be endofunctors":

http://www.cs.nott.ac.uk/~txa/publ/Relative_Monads.pdf