Min Uncut와 Min-CSP_XOR 사이의 동등성

Question

이 백서에서

Agarwal, Amit, et al. "O (√ 로그 N) Min Uncut, Min 2CNF 삭제 및 지시 된 절단 문제에 대한 근사 알고리즘." 계산 이론에 대한 37 번째 연례 ACM 심포지움의 절차. 2005.

Agarwal et al. 다음 두 가지 문제가 동일하다는 것을 주장합니다.

부울 변수 $ B_1, \ dots, b_n $ 및 양식 $ b_i \ oplus를 고려하십시오 b_j= 0 $ 및 $ b_i \ oplus b_j= 1 $ . 목표는 만족하지 않은 제약 조건의 수를 최소화하는 것입니다.

및

그래프 $ g= (v, e) $ 컷되지 않은 가장자리의 수를 최소화하는 절단을 찾습니다.

제약 조건이 $ b_i \ oplus b_j= 1 $ 이었습니다. 동등성은 간단합니다. 그러나 $ B_I \ OPLUS B_J= 0 $ 의 제약 조건을 고려하면 첫 번째 제제가 더 일반적으로 보입니다.

어떻게 이러한 해당 요소가 있습니까?

Answer 1

$ b_i \ oplus b_j= c $ 의 제약 조건이 주어집니다. 우리는 각 $ b_i $ 에 해당하는 하나의 정점으로 그래프를 생성합니다. $ B_I \ OPLUS B_J= 1 $ 의 각 제약에 대해 $ \ {i, j \ } $ . $ b_i \ oplus b_j= 0 $ 의 각 제약 조건에 대해 새 버텍스 $ x $ 및 두 개의 가장자리 $ \ {i, x \}, \ {j, x \} $ .

우리는 정점의 파티션으로 두 부분으로 잘라낼 수 있습니다. $ b_i \ oplus b_j= 1 $ 의 제약 조건은 불분명합니다. $ i, j $ < / span> 동일한 부분에 속한 $ \ {i, j \} $ 은 차단되지 않습니다. $ B_I \ OPLUS B_J= 0 $ 의 제약 조건은 두 가지 경우 :

• 제약 조건이 만족하지 않으면 $ i, j $ 은 다른 부분에 속합니다. $ \ {i, x \}, \ {j, x \} $ 은 차단되지 않습니다.

• 제약 조건이 만족하지 않으면 $ i, j $ 은 동일한 부분에 속하며 ( $ x $ ) $ \ {i, x \}, \ {j, x \} $ < / span>은 uncut입니다. 우리가 아프리카 가장자리의 수를 최소화하기 위해 우리는 0이되지 않은 것으로 가정 할 수 있습니다.

합계로, 불만족 한 제약 조건의 수는 아프리카 가장자리의 수와 동일합니다.