Min Uncutとmin-csp_xorの間の等価性

Question

この論文では

Agarwal、Amitら。 MINNUT、最小2CNF欠失、および指示されたカット問題のための（←log n）近似アルゴリズム "計算理論に関する第37回のACMシンポジウムの議事録2005年。

Agarwal et al。以下の2つの問題が同等であると主張している。

ブール変数 $ b_1、\ dots、b_n $ 、 $ b_i \ oplusの一連の制約B_J= 0 $ と $ b_i \ oplus b_j= 1 $ 。目標は、満足のいく制約の数を最小限に抑えることです。

と

グラフ $ g=（v、e）$ カットを見つけるカットを見つけます。

$ b_i \ Oplus b_j= 1 $ の形式のみの場合にのみ制約があった場合、等価性は簡単です。ただし、 $ b_i \ oplus b_j= 0 $ の形式の制約も考慮すれば、最初の定式化は私にとってより一般的です。

これらの同等のものはどのようにですか？

Answer 1

フォームの一組の制約を与えられているとします。 $ b_i \ oplus b_j= c $ 。各 $ b_i $ に対応する1つの頂点を持つグラフを構築します。 $ b_i \ oplus b_j= 1 $ の形式の制約ごとに、エッジ $ \ {i、j \ $ 。 $ b_i \ oplus b_j= 0 $ の形式の制約ごとに、新しい頂点 $ x $ 、および2つのエッジ $ \ {i、x \}、\ {j、x \} $ 。

頂点の区画としての切り込みを2つの部分に考えることができます。フォームの拘束 $ b_i \ oplus b_j= 1 $ の場合、制約は満足していません $ i、j $ < / SPAN>同じ部分に属しているIFF $ \ {i、j \} $ は未起きです。 $ b_i \ oplus b_j= 0 $ の形式の制約については、2つのケースがあります。

• 制約が満たされていない場合は、 $ i、j $ がさまざまな部分に属しているので、eedges $ \ {i、x \}、\ {j、x \} $ は未起こりです。

• 制約が満たされていない場合は、 $ i、j $ が同じ部分に属しているので、 $ x $ ）ゼロまたは2つのエッジ $ \ {i、x \}、\ {j、x \} $ < / SPAN>は不十分です。未払縁の数を最小にすることを目指しているので、ゼロが未切断であると仮定することができます。

合計では、不満足な制約の数は、未切断エッジの数と同じです。