평균 검사 수

Question

키 값이 $$ 0, 1, ..., n-1. $$ $ p (i) (0 ≤ i ≤ n-1) $ 키가 검색되는 요소가있는 요소가 될 확률이 될 확률이 될 확률이 될 확률이 될 확률이 될 확률이 될 확률이 될 확률이 될 확률이됩니다. $ P (i)의 $ 의 다음 배포를 가정합니다.

$$ P (i)= \ 시작 {사례} 1 / 2 ^ {n-1}, & \ text {i= 0} \\ 1 / 2 ^ i, & \ text {그렇지 않으면} \ end {사례} $$

선형 검색이 사용되며 모든 검색이 성공한 모든 요소가 있습니다.

임의의 검색에 대해 검사 된 평균 노드 수 (링크 된 목록의 요소가 임의의 순서로 저장됩니다) 조직에 저장된 것으로 표시되며 확률이 낮아지면 정렬 된 노드 수는 무엇입니까 (예 : 시작됩니다. '1'요소와 함께 '2', '3'등을 입력 한 다음 '0'을 포함하는 마지막 노드와 함께 "0 '의 큰 값을 위해

나는 첫 번째 부분에 대한 답변이 $ n / 2 $ (확률은 모든 요소에 대해 동일하지 않기 때문에)하지만 나는 그 이상을 훨씬 더 알지 못한다 ... 그러나 분류 할 때 $$ \ sum_ {i= 1} ^ {n-1} i * { 1 / 2 ^ {i}} + n * 1 / 2 ^ {n-1} $$ 첫 번째 요소에 도착하는 데 하나의 비교를 취하기 때문에 두 번째로 두 번째 요소로 이동하고 마지막으로 n은 n을 취합니다. 비교 시간은 0의 확률 0을 비교합니다. 나는 또한 $$ \ sum_ {i=} ^ a= b / (1-b) ^ 2 $ $ 이 경우에는 2 (b= 1/2)와 같을 수는 있지만 가장자리 케이스 - '0'을 다루는 방법이 없습니다. : (

)

나는 또한 이 스레드를 알고 있습니다 그러나 각 숫자는 동일한 확률이 있었고 정확히 동일하지는 않습니다.

나는 이것이 꽤 오랫동안 나를 괴롭히는 것처럼 대답을 찾고, 나는 그 결과에 대해 진정으로 궁금해한다.
어떤 힌트가 크게 감사 할 것입니다!

Answer 1

글쎄, 보자. 문제 모델을 잘못 이해했는지 지적하십시오.

$ n= 5 $ 요소가 있다고 가정합니다. $ s= [1, 3, 4, 0, 2] $ / span> 방식으로 정렬된다고 가정 해보십시오. 그런 다음 선형 검색을 사용하여 확률 $ (1/2) ^ 3 $ 은 검색에서 2 단계가 있으며 확률 $ (1/2) ^ 4 $ 은 우리의 검색에서 4 단계를 가지고 있습니다.

그래서 임의의 정렬 $ s $ 을 제공하는 요소를 찾아야하는 평균 단계의 평균 단계는 무엇입니까? $ x $ - 검색에서 필요한 단계 수를 말해 봅시다. $ x= i $ 단계는 $ k \ {0, 1,2, .., n-1 \} $ 우리는 $ i $ th 위치에 있습니다. 즉, $$ p (x= i)=sum_ {k= 0} ^ {n-1} p (\ \ k \ | \ \ Element \ k \ \ \ it \ position) p (\ element \ k \ at \ it \ position) $$ $ p (\ element) \ k \ \ \ it \ position)=frac {(n-1)!} {1}=frac {1} {n} $ 우리는 고정 된 위치에 요소가 있기 때문에 $ (n-1)! $ 총 $ n! $ 가능한 다른 요소에 대한 가능한 순열 가능 $ n $ 요소의 순열. 그런 다음 $ \ sum_ {k= 0} ^ {n-1} p (\ \ k \ | \ \ \ k \ \ \ \ \ \ \ \ \ 위치)= 1 $ . 이는 $ p (x= i)=frac {1} {n} $ 을 의미합니다. 따라서 기대는 $ \ sum_ \ frac {k} {n} \ frac {k} {n}=frac {n + 1} {2} $ .

물론 두 번째 부분은 $$ e (x | 정렬 \ 감소 \ 확률 \ \ \ discress \ sum_ k= 1) ^ {k} {2 ^ {k} {k} {2 ^ {k}} {2 ^ {n-1} {2 ^ {n-1}} $$ (요소가 < SPAN 클래스="수학 용기"> $ 1 $ $ n-1 $ 및 요소 $ 0 $ 은 $ 0 $ 은