주어진 배열$A$및 index$c$증가 항상 존재하는 배열의 합$\pmod{i}=0$

Question

주어진 배열 $달 양의 정수와 크기 $m$ 배열 색인 $c$ (인덱싱에서 시작 $1$).증명을 사용하여 수학적 유도상 $m$ 가 항상 존재합 연속 배열 $S$ 에 $달 한 것(합의 요소 $S$) $\pmod{i}=0.$

나를 찾을 수 없는 올바른 접근 방식을 문제를 해결합니다.나는지 확인 원칙 유용할 것이 여기에,그러나 내가 알지 못하는 방법이 올바르게 적용 내에 그것을 증명합니다.할 수 있는 누군가가 나에서 오른쪽 방향으로 가야합니까?

Answer 1

그것을하려고 노력하고, 유도가 관련되지 않았습니다.

초기 목록 $ a= [a_1, a_2, ..., a_1, a_2, ..., a_m] $ $ $ $ 수학 용기 "> $ A_0= 0 $ , $ a '= [a_0, a_1, ..., a_m] $ .

은 $ p_i=sum_0 ^ i a_j $ $ b $ 위치 $ e $ 의 위치에서 초기 목록의 요소 합계는 < SPAN 클래스="수학 용기"> $ \ sum_b ^ e a_i= p_e - p_ {b - 1} $ . $ P_0= 0 $ 은 $ A_0 $ 을 추가 한 이후에 정의되어 있습니다. 이것은 간격의 합을 걱정할 때 매우 일반적인 트릭입니다.

문제로 돌아가서 두 개의 인덱스 $ i 이 존재해야합니다 $ c | (P_J - P_I) $ . 이것은 $ p_i \ equiv p_j \ mod c $를 $ i 에 존재하는 것과 같습니다. . 우리는 $ P $ 에 의해 $ C $ 으로 나뉘어지면

이제 $ C $ 이 가장 $ C $ 에 있는지 확인됩니다. 목록 $ P $ 은 $ | p |= m + 1 $ . $ c \ le m <| p | $ $ p $에서 적어도 두 요소를 보장 할 수 있습니다. 은 동일한 나머지를 가지고 있습니다.

Answer 2

자 P(m) 을 나타내 문을 우리는 것을 증명하려고:주어진 긍정적인 정수 배열 A 의 크기 m 고 c 에 [m] 가 있(연속)하위 배열의 합계 모듈 c 은 0 입니다.

우리는 이러한 subarrays satisfy P(m).

P(1)사소한 이후 c=1.

가정 P(m).Let's 을 증명하려고에 대한 P(m+1)입니다.

는 경우 c <= m, 다음을 무시하는 마지막 요소의 배열 및 주는 배열을 만족하는 P(m)또한 충족 P(m+1)입니다.

정 c == m+1.

을 고려 m+1 금액:S1 = A[1]%(m+1), S2 = (A[1] + A[2])%(m+1),.... S_(m+1) = (A[1] + A[2] + ... + A[m+1])%(m+1)

는 경우 S_i == 0, 다음,이하 배열 A[1..i] 맞 P(m+1)입니다.

이 없는 경우 S_i 0,각 S_i 취할 수 있습 중 하나에 m 값 범위에서 {1,2,...,m}.여 원칙이 있어야 합 indices i < j 러 S_i == S_j 고 A[i+1 ... j] 맞 P(m+1)입니다.